سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

۱. تعیین ابعاد و بازهٔ مجاز
رأسِ مستطیل روی منحنی را $(x,y)$ می‌نامیم. سه رأس دیگر، روی محورهای مختصات، برابر $(0,0)$، $(x,0)$ و $(0,y)$ هستند؛ پس ابعاد مستطیل $x$ و $y$ است.

معادلهٔ سهمی را می‌توان چنین نوشت:
$y=4x^2-12x+9=(2x-3)^2$.
این منحنی محور افقی را در $x=\tfrac32$ و محور عمودی را در $y=9$ قطع می‌کند. بنابراین برای مستطیلی که در ناحیهٔ محدود بین محورها و منحنی قرار دارد، داریم:
$0<x<\tfrac32$.
برای بررسی بیشینه، دو انتهای بازه را نیز به‌عنوان حالت‌های مرزی با مساحت صفر در نظر می‌گیریم.

۲. نوشتن تابع مساحت
مطابق روش بهینه‌سازی کتاب، ابتدا مساحت را برحسب یک متغیر بیان می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۳–۱۱۴):
$S=xy$،
پس:
$S(x)=x(4x^2-12x+9)=4x^3-12x^2+9x,\qquad x\in[0,\tfrac32]$.

۳. یافتن نقطهٔ بیشینه
برای تعیین بیشینهٔ مطلق، نقاط با مشتق صفر و دو انتهای بازه را بررسی می‌کنیم؛ همان روشی که در مثال بهینه‌سازی کتاب به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).
$S'(x)=12x^2-24x+9=3(2x-1)(2x-3)$.
بنابراین:
$S'(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac12\ \text{یا}\ x=\tfrac32$.
در بازهٔ $0<x<\tfrac12$ هر دو عاملِ خطی منفی‌اند، پس $S'(x)>0$؛ در بازهٔ $\tfrac12<x<\tfrac32$ علامت آن‌ها مخالف است، پس $S'(x)<0$. بنابراین مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد و در $x=\tfrac12$ بیشینه می‌شود.

۴. محاسبهٔ مساحت بیشینه
عرض رأس در این حالت برابر است با:
$y=4(\tfrac12)^2-12(\tfrac12)+9=1-6+9=4$.
پس:
$S_{\max}=\tfrac12\times4=2$.
همچنین $S(0)=S(\tfrac32)=0$ است؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده بیشینهٔ مطلق مساحت است.

پاسخ: گزینهٔ ۱