سوال ۱۴۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

برای یافتن اکسترمم‌های نسبی، هم صفرهای مشتق و هم نقاطی را بررسی می‌کنیم که تابع در آن‌ها تعریف شده، ولی مشتق ندارد. وجود اکسترمم در نقاط شکستِ تابع قدرمطلقی نیز ممکن است؛ مانند مثال کتاب (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷).

گام اول: دامنه و بازکردن قدرمطلق
مخرج نباید صفر باشد، پس:
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.
بنابراین $x=\pm1$ نمی‌توانند طول نقاط اکسترمم باشند.

با توجه به علامت عبارت داخل قدرمطلق داریم:
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2(x^2-4)}{x^2-1}& |x|\ge2,\\[4pt]\dfrac{x^2(4-x^2)}{x^2-1}& |x|<2,\quad x\ne\pm1.\end{cases}$

گام دوم: محاسبهٔ مشتق در شاخه‌ها
قرار می‌دهیم:
$g(x)=\dfrac{x^2(x^2-4)}{x^2-1}$.
با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت:
$g'(x)=\dfrac{(4x^3-8x)(x^2-1)-2x(x^4-4x^2)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}$.

در نتیجه:
$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}& |x|>2,\\[4pt]-\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}& |x|<2,\quad x\ne\pm1.\end{cases}$

چون $\big((x^2-1)^2+3\big)>0$ و مخرج نیز در دامنه مثبت است، در شاخه‌های بیرونی علامت مشتق همان علامت $x$ و در شاخهٔ درونی مخالف علامت $x$ است. تنها صفر مشتق، $x=0$ است.

گام سوم: بررسی تغییر رفتار تابع
طبق تعریف اکسترمم نسبی، تغییر رفتار از نزولی به صعودی نشان‌دهندهٔ مینیمم نسبی و تغییر رفتار از صعودی به نزولی نشان‌دهندهٔ ماکزیمم نسبی است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۰۴–۱۰۵).

ـ در $x=-2$، مشتق در سمت چپ منفی و در سمت راست مثبت است. تابع در این نقطه پیوسته است؛ پس $(-2,0)$ مینیمم نسبی است.

ـ در $x=0$، مشتق در سمت چپ مثبت و در سمت راست منفی است؛ پس $(0,0)$ ماکزیمم نسبی است. توجه کنید که نزدیک این نقطه، صورت تابع مثبت و مخرج منفی است، بنابراین مقادیر تابع از مقدار آن در مبدأ کوچک‌ترند.

ـ در $x=2$، مشتق در سمت چپ منفی و در سمت راست مثبت است. تابع در این نقطه نیز پیوسته است؛ پس $(2,0)$ مینیمم نسبی است.

در سایر نقاط دامنه، مشتق ناصفر است و تغییر رفتار دیگری نداریم. بنابراین تابع دارای $3$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است: دو مینیمم نسبی و یک ماکزیمم نسبی.

پاسخ: گزینهٔ ۲