سوال ۱۴۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

تابع ترکیب را $h(x)=(g\circ f)(x)=g(1-x^2)$ می‌نامیم.

گام اول: تعیین ضابطهٔ ترکیب
تابع $g$ به ورودی مثبت مقدار $1$، به ورودی صفر مقدار $0$ و به ورودی منفی مقدار $-1$ می‌دهد. پس باید علامت $1-x^2$ را مشخص کنیم:
$1-x^2>0\iff -1<x<1$،
$1-x^2=0\iff x=\pm1$،
$1-x^2<0\iff x<-1\ \text{یا}\ x>1$.
بنابراین:
$h(x)=\begin{cases}1&-1<x<1\\0&x=\pm1\\-1&x<-1\ \text{یا}\ x>1.\end{cases}$

گام دوم: بررسی نقاط تغییر ضابطه
طبق معیار پیوستگی، حدهای چپ و راست در یک نقطه باید با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند؛ پس متفاوت بودن حدهای یک‌طرفه برای اثبات ناپیوستگی کافی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰).

در $x=-1$ داریم:
$\lim_{x\to-1^-}h(x)=-1$ و $\lim_{x\to-1^+}h(x)=1$.
این دو حد برابر نیستند؛ بنابراین تابع در $x=-1$ ناپیوسته است.

در $x=1$ نیز داریم:
$\lim_{x\to1^-}h(x)=1$ و $\lim_{x\to1^+}h(x)=-1$.
پس تابع در $x=1$ نیز ناپیوسته است.

گام سوم: بررسی سایر نقاط
تابع روی هر یک از بازه‌های $(-\infty,-1)$، $(-1,1)$ و $(1,+\infty)$ ثابت است؛ بنابراین در تمام نقاط این بازه‌ها پیوسته است و نقطهٔ ناپیوستگی دیگری ندارد.

در نتیجه، تعداد نقاط ناپیوستگی برابر با $2$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۳