سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای پیوستگی روی $\mathbb{R}$، تابع باید در تمام اعداد حقیقی تعریف شده و در تک‌تک آن‌ها پیوسته باشد؛ پس بررسی نقطهٔ اتصال به‌تنهایی کافی نیست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۰–۱۴۱).

گام اول: بررسی تعریف‌شدن تابع روی تمام اعداد حقیقی

در شاخهٔ اول، مخرج در $x=-a$ صفر می‌شود. این نقطه نباید در ناحیهٔ استفاده از این شاخه، یعنی $x\ge a$، باشد. بنابراین:
$-a<a\ \Longrightarrow\ a>0$.

در شاخهٔ دوم، مخرج در $x=1$ صفر می‌شود. این نقطه نیز نباید در ناحیهٔ $x<a$ قرار بگیرد؛ پس:
$1\ge a\ \Longrightarrow\ a\le1$.

در نتیجه، شرط لازم برای تعریف‌شدن تابع روی تمام اعداد حقیقی عبارت است از:
$0<a\le1$.

گام دوم: بررسی پیوستگی در نقطهٔ اتصال

در محدودهٔ بالا، هر شاخه در ناحیهٔ خودش مخرج ناصفر دارد و پیوسته است؛ بنابراین فقط باید اتصال دو شاخه را در $x=a$ بررسی کنیم. طبق شرط پیوستگی، حد چپ و حد راست باید با مقدار تابع برابر باشند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰). از شاخهٔ اول داریم:
$f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\frac{3}{2a}$.

اکنون دو حالت داریم:

حالت اول: $0<a<1$

چون $a\ne1$، حد چپ برابر است با:
$\lim_{x\to a^-}f(x)=\frac{a-1}{a-1}=1$.

پس شرط پیوستگی می‌دهد:
$\frac{3}{2a}=1\ \Longrightarrow\ a=\frac{3}{2}$.

این مقدار در بازهٔ $0<a<1$ نیست؛ بنابراین در این حالت پاسخی نداریم.

حالت دوم: $a=1$

برای $x<1$، شاخهٔ دوم برابر $\frac{0}{x-1}=0$ است؛ در نتیجه:
$\lim_{x\to1^-}f(x)=0$.

اما مقدار تابع در نقطهٔ اتصال برابر است با:
$f(1)=\frac{3}{2}$.

پس حد چپ با مقدار تابع برابر نیست و این حالت نیز پیوسته نیست.

بنابراین هیچ مقداری از $a$ وجود ندارد که تابع را روی تمام $\mathbb{R}$ پیوسته کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱