دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۶: حد و پیوستگی

حاصل lim⁡x→−12[8x3−x]\lim_{x\to-\frac{1}{2}}[8x^3-x] کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۱
  2. گزینهٔ ۲: −1-1
  3. گزینهٔ ۳: صفر
  4. گزینهٔ ۴: وجود ندارد.
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص نماد. در این سؤال، [ ⋅ ][\,\cdot\,] نماد جزء صحیح است، نه صرفاً علامت گروه‌بندی. جزء صحیحِ یک عدد، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی آن است. برای بررسی حد این تابع باید رفتار ورودی آن را در دو طرف نقطه در نظر بگیریم؛ مشابه تمرین‌های تابع جزء صحیح در کتاب (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۴).

گام دوم: حد عبارت داخل جزء صحیح را حساب می‌کنیم. حد چندجمله‌ای در هر نقطه برابر مقدار آن در همان نقطه است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۰–۱۳۱). بنابراین:
lim⁡x→−12(8x3−x)=8(−12)3−(−12)=−1+12=−12\lim_{x\to-\frac12}(8x^3-x)=8\left(-\frac12\right)^3-\left(-\frac12\right)=-1+\frac12=-\frac12.

گام سوم: چون −1<−12<0-1<-\frac12<0، برای همهٔ xxهای به‌اندازهٔ کافی نزدیک به −12-\frac12، عبارت 8x3−x8x^3-x نیز میان −1-1 و 00 باقی می‌ماند. در نتیجه، در هر دو طرف نقطه داریم:
[8x3−x]=−1[8x^3-x]=-1.
پس حد چپ و راست برابرند و:
lim⁡x→−12[8x3−x]=−1\lim_{x\to-\frac12}[8x^3-x]=-1.

توجه کنید که جزء صحیحِ عدد منفی با حذف بخش اعشاری آن به دست نمی‌آید؛ برای نمونه [−12]=−1[-\frac12]=-1، نه 00.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با حذف نادرست علامت منفی به این گزینه برسید؛ اما جزء صحیح، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی عدد است و برای عددی میان −1-1 و 00، مثبت نیست.
  • گزینهٔ ۳: این گزینه معمولاً از اشتباه گرفتن جزء صحیح با حذف قسمت اعشاری به دست می‌آید. برای عدد منفیِ میان −1-1 و 00، جزء صحیح برابر 00 نیست؛ زیرا 00 از آن عدد بزرگ‌تر است.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است تصور کنید تابع جزء صحیح در همهٔ نقاط حد ندارد؛ درحالی‌که پرش آن فقط در ورودی‌های صحیح رخ می‌دهد. اینجا عبارت داخل جزء صحیح به عددی غیرصحیح میل می‌کند و در همسایگی نقطه، جزء صحیح آن ثابت است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. نماد کروشه در این سؤال نشان‌دهندهٔ تابع جزء صحیح است. رفتار این تابع را در فاصلهٔ میان دو عدد صحیح متوالی مرور کنید؛ مانند کار در کلاس ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۴.
  2. ابتدا حد چندجمله‌ای داخل کروشه را با جای‌گذاری به دست آورید؛ سپس بررسی کنید حاصل میان کدام دو عدد صحیح متوالی قرار می‌گیرد.
  3. اگر مقدار به‌دست‌آمده صحیح نباشد، با نزدیک شدن از هر دو طرف، ورودیِ جزء صحیح در همان فاصلهٔ میان دو عدد صحیح باقی می‌ماند. بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر از آن را مشخص کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۶: حد و پیوستگی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «حد و پیوستگی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری