سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۹ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۹ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۳: حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت

اگر $\lim_{x\to-2\pi}\frac{4+k\left[\frac{x}{\pi}\right]}{\sin x}=+\infty$ باشد، مقدار $[-k]$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: $-1$
گزینهٔ ۲: $-4$
گزینهٔ ۳: $-3$
گزینهٔ ۴: $-2$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای آنکه حد دوسویه برابر $+\infty$ باشد، هر دو حد یک‌طرفه باید برابر $+\infty$ باشند. مطابق روش بررسی حدهای بی‌نهایت، باید علامت صورت و مخرج را در هر سمت تعیین کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۵۶–۵۷).

گام اول: بررسی سمت راست
اگر $x$ کمی بزرگ‌تر از $-2\pi$ باشد، داریم:
$-2<\frac{x}{\pi}<-1\quad\Longrightarrow\quad\left[\frac{x}{\pi}\right]=-2$ .
همچنین با نوشتن $x=-2\pi+h$ ، برای $h$ مثبت و نزدیک به صفر، $\sin x=\sin h>0$ است؛ پس مخرج از سمت مثبت به صفر میل می‌کند. بنابراین برای مثبتِ بی‌نهایت شدن کسر باید:
$4-2k>0\quad\Longrightarrow\quad k<2$ .
اگر صورت صفر باشد، کسر در آن سمت صفر می‌شود، نه بی‌نهایت؛ پس نامساوی اکید است.

گام دوم: بررسی سمت چپ
اگر $x$ کمی کوچک‌تر از $-2\pi$ باشد، داریم:
$-3<\frac{x}{\pi}<-2\quad\Longrightarrow\quad\left[\frac{x}{\pi}\right]=-3$ .
در این سمت، $\sin x$ منفی است و به صفر میل می‌کند. برای آنکه کسر به $+\infty$ میل کند، صورت نیز باید منفی باشد:
$4-3k<0\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{4}{3}$ .

گام سوم: اشتراک شرط‌ها و محاسبهٔ جزء صحیح
از دو شرط به دست می‌آید:
$\frac{4}{3}<k<2\quad\Longrightarrow\quad -2<-k<-\frac{4}{3}$ .
جزء صحیح، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی عدد است؛ بنابراین در تمام این بازه:
$[-k]=-2$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با حذف قسمت اعشاریِ عدد منفی، به $-1$ برسید؛ اما جزء صحیح، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی عدد است. برای $-2<-k<-\frac{4}{3}$ ، حذف قسمت اعشاری با گرفتن جزء صحیح یکسان نیست.
گزینهٔ ۲: ممکن است عدد ثابتِ $4$ در صورت را به‌اشتباه مقدار پارامتر بگیرید و $[-k]=-4$ بنویسید. اما برای $k=4$ ، صورت در سمت راست منفی و مخرج مثبت است؛ بنابراین حد راست برابر $-\infty$ می‌شود.
گزینهٔ ۳: ممکن است جزء صحیحِ سمت چپ را به‌اشتباه $-2$ بگیرید و از شرط منفی‌بودن صورت به $k>2$ برسید. در واقع، در سمت چپ $[x/\pi]=-3$ است و شرط سمت راست نیز الزام می‌کند که $k<2$ باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش بررسی علامت صورت و مخرج در حدهای بی‌نهایت را به یاد بیاورید؛ نمونه‌های آن در ریاضی ۳، صفحات ۵۶–۵۷ آمده است. به‌دلیل وجود جزء صحیح، دو سمت نقطه را جداگانه بررسی کنید.
اگر $x=-2\pi+h$ باشد، آنگاه $\sin x=\sin h$ ؛ پس مخرج در سمت راست مثبت و در سمت چپ منفی است. همچنین جزء صحیحِ عددی کمی کوچک‌تر از $-2$ با جزء صحیحِ عددی کمی بزرگ‌تر از آن تفاوت دارد.
در سمت راست، صورت به $4-2k$ و در سمت چپ به $4-3k$ تبدیل می‌شود. برای مثبتِ بی‌نهایت شدن هر دو حد، اولی باید مثبت و دومی منفی باشد؛ اشتراک این دو شرط را پیدا کنید و سپس جزء صحیحِ $-k$ را بگیرید.

فصل «حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.