سوال ۱۲۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: معادلهٔ دو خط را به دست می‌آوریم.
خط $f$ از نقاط $(0,3m)$ و $(m,0)$ می‌گذرد؛ پس شیب آن برابر است با:
$a_f=\frac{0-3m}{m-0}=-3$.
بنابراین:
$f(x)=-3x+3m$.
خط $g$ نیز از نقاط $(0,-3)$ و $(4,0)$ می‌گذرد؛ در نتیجه:
$a_g=\frac{0-(-3)}{4-0}=\frac{3}{4}$،
و معادلهٔ آن چنین است:
$g(x)=\frac{3}{4}x-3$.

گام دوم: علامت عبارت داخل قدرمطلق را بررسی می‌کنیم.
هنگامی که $x\to-\infty$، عبارت $-3x+3m$ مثبت می‌شود؛ پس برای ورودی‌های به‌اندازهٔ کافی منفی داریم:
$|f(x)|=f(x)=-3x+3m$.
بنابراین:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{|f(x)|}{g(x)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x+3m}{\frac{3}{4}x-3}$.

گام سوم: حد نسبت را محاسبه می‌کنیم.
مطابق روش محاسبهٔ حد نسبت چندجمله‌ای‌ها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان متغیر در مخرج، یعنی $x$، تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰):
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{-3+\frac{3m}{x}}{\frac{3}{4}-\frac{3}{x}}$.
از آنجا که $m$ ثابت است و $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$، جمله‌های کسری به صفر میل می‌کنند. همچنین حد مخرج ناصفر است و می‌توان از قانون حدِ خارج‌قسمت استفاده کرد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۹–۶۰):
$\displaystyle \frac{-3+0}{\frac{3}{4}-0}=\frac{-3}{\frac{3}{4}}=-4$.
پس مقدار مجهول $m$ در جواب نهایی نقشی ندارد. منفی بودن پاسخ نیز با نمودار سازگار است؛ زیرا در سمت چپ، صورت مثبت و مخرج منفی است.

پاسخ: گزینهٔ ۳