سوال ۱۳۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

برای محاسبهٔ حد، ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم تا بتوانیم از قواعد حد در بی‌نهایت استفاده کنیم. طبق این قواعد، معکوس توان‌های مثبتِ $x$ در بی‌نهایت به صفر میل می‌کند و حد تفاضلِ دو تابع با حدهای متناهی، برابر تفاضل حدهای آن‌هاست (ریاضی ۳، صفحات ۵۹–۶۰).

گام اول: چون $x\to+\infty$، می‌توان $x$ را مثبت در نظر گرفت. بنابراین عامل $\sqrt{x}$ را در هر دو رادیکال ضرب می‌کنیم:
$\sqrt{x}\left(\sqrt{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\right)=\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}-\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}}$.

گام دوم: عبارت زیر رادیکال دوم را با مخرج مشترک ساده می‌کنیم:
$\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x(x^2+1)}$.
پس حد موردنظر برابر است با:
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}-\sqrt{\frac{1}{x(x^2+1)}}\right)$.

گام سوم: برای حد رادیکال اول، صورت و مخرجِ کسر را بر $x$ تقسیم می‌کنیم؛ این همان روش ساده‌سازی کسرها در حدِ بی‌نهایت است که در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰):
$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\longrightarrow1$.
بنابراین:
$\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}\longrightarrow\sqrt{2}$.

برای رادیکال دوم نیز داریم:
$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}\longrightarrow0$،
پس رادیکال دوم به صفر میل می‌کند.

در نتیجه، حد برابر است با $\sqrt{2}-0=\sqrt{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴