سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

برای تشکیل معادلهٔ جدید، کافی است مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های خواسته‌شده را به دست آوریم.

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های اولیه

معادلهٔ داده‌شده را به شکل استاندارد می‌نویسیم:
$x=5-x^2\Rightarrow x^2+x-5=0$.

طبق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $S=-\frac{b}{a}$ و $P=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین:
$x_1+x_2=-1,\qquad x_1x_2=-5$.

گام دوم: مجموع و حاصل‌ضرب معکوس‌های ریشه‌های انتقال‌یافته

قرار می‌دهیم:
$u=\frac{1}{x_1+1},\qquad v=\frac{1}{x_2+1}$.

ابتدا حاصل‌ضرب مخرج‌ها را محاسبه می‌کنیم:
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5-1+1=-5$.

این حاصل‌ضرب ناصفر است؛ پس هر دو کسر تعریف شده‌اند. اکنون:
$u+v=\frac{x_1+x_2+2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{-1+2}{-5}=-\frac{1}{5}$،
$uv=\frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}=-\frac{1}{5}$.

گام سوم: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های مطلوب

ریشه‌های مطلوب $u^3$ و $v^3$ هستند. با استفاده از اتحاد مجموع مکعب‌ها داریم:
$S=u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$،
$S=\left(-\frac{1}{5}\right)^3-3\left(-\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{125}-\frac{3}{25}=-\frac{16}{125}$.

حاصل‌ضرب آن‌ها نیز برابر است با:
$P=u^3v^3=(uv)^3=\left(-\frac{1}{5}\right)^3=-\frac{1}{125}$.

گام چهارم: تشکیل معادله

معادله‌ای که مجموع ریشه‌هایش $S$ و حاصل‌ضرب آن‌ها $P$ باشد، به صورت $x^2-Sx+P=0$ نوشته می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). پس:
$x^2+\frac{16}{125}x-\frac{1}{125}=0$.

با ضرب طرفین در $125$ و جابه‌جایی جملهٔ ثابت:
$125x^2+16x-1=0\Rightarrow125x^2+16x=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ــ جای‌گذاری ورودی:
با قرار دادن $x=\frac{\pi}{36}$، زاویه‌های چهار عامل به‌ترتیب برابرند با:
$3x=\frac{\pi}{12}$، $6x=\frac{\pi}{6}$، $12x=\frac{\pi}{3}$ و $24x=\frac{2\pi}{3}$.
پس:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=16\cos^2\frac{\pi}{12}\cos^2\frac{\pi}{6}\cos^2\frac{\pi}{3}\cos^2\frac{2\pi}{3}$.

گام دوم ــ محاسبهٔ عوامل مربوط به زاویه‌های معروف:
مقادیر کسینوس این زاویه‌ها در فعالیت رسم تابع کسینوس بررسی شده‌اند (ریاضی ۲، صفحات ۹۱–۹۲):
$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$، $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ و $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$.
همچنین، منفی‌بودن مقدار آخر از رابطهٔ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحات ۸۳–۸۴). بنابراین:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=16\cos^2\frac{\pi}{12}\times\frac34\times\frac14\times\frac14=\frac34\cos^2\frac{\pi}{12}$.

گام سوم ــ محاسبهٔ مربع کسینوسِ زاویهٔ باقی‌مانده:
از رابطهٔ زاویهٔ دوبرابر، $\cos 2t=2\cos^2t-1$، داریم:
$\cos^2t=\frac{1+\cos 2t}{2}$.
در نتیجه:
$\cos^2\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt3}{4}$.

گام چهارم ــ محاسبهٔ نهایی:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=\frac34\times\frac{2+\sqrt3}{4}=\frac{6+3\sqrt3}{16}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: تعیین سینوس و کسینوس زاویه

چون $\alpha$ در ناحیهٔ سوم است، سینوس و کسینوس آن هر دو منفی‌اند. با توجه به $\tan\alpha=\frac{3}{4}$ و اتحاد $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$، داریم:
$\sin\alpha=-\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=-\frac{4}{5}$.

گام دوم: محاسبهٔ نسبت‌های زاویهٔ دوبرابر

طبق اتحادهای زاویهٔ دوبرابر، $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ و $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ (ریاضی ۳، صفحات ۴۲–۴۳). بنابراین:
$\sin 2\alpha=2\times\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{24}{25}$،
$\cos 2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.

پس مخرج عبارت برابر است با:
$\cot 2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}=\frac{7/25}{24/25}=\frac{7}{24}$.

گام سوم: ساده‌کردن صورت کسر

از روابط تبدیل زاویه داریم:
$\cos(2\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin 2\alpha=\frac{24}{25}$،
$\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha=\frac{4}{5}$.

در نتیجه، صورت کسر برابر است با:
$\frac{24}{25}+\frac{4}{5}=\frac{44}{25}$.

گام چهارم: محاسبهٔ مقدار عبارت

تقسیم بر یک کسر، معادل ضرب در معکوس آن است؛ بنابراین:
$\frac{\cos(2\alpha-\frac{\pi}{2})+\cos(\alpha+\pi)}{\cot 2\alpha}=\frac{44}{25}\div\frac{7}{24}=\frac{44}{25}\times\frac{24}{7}=\frac{1056}{175}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تبدیل معادله به حاصل‌ضرب
با استفاده از اتحاد $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ داریم:
$1-\sin^2 x-\sin^2 x\cos(3x)=1$
پس:
$\sin^2 x\bigl(1+\cos(3x)\bigr)=0$
بنابراین باید دست‌کم یکی از دو عامل صفر باشد:
$\sin x=0\quad\text{یا}\quad\cos(3x)=-1$.

گام دوم: حل حالت اول
طبق رابطهٔ صفرهای سینوس در کتاب، جواب‌های $\sin x=0$ به صورت $x=k\pi$، با $k\in\mathbb Z$، هستند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴). در بازهٔ $[0,2\pi]$ به دست می‌آید:
$A=\{0,\pi,2\pi\}$.
چون بازه بسته است، هر دو سر آن نیز باید شمرده شوند.

گام سوم: حل حالت دوم
با توجه به $-1=\cos\pi$ و قاعدهٔ حل معادلهٔ کسینوسی در کتاب (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵–۴۶)، داریم:
$\cos(3x)=\cos\pi\ \Longrightarrow\ 3x=2k\pi\pm\pi$.
این دو خانواده را می‌توان به صورت یک خانواده نوشت:
$3x=(2k+1)\pi\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{(2k+1)\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z$.
برای قرارگرفتن در بازهٔ موردنظر باید:
$0\leq\dfrac{(2k+1)\pi}{3}\leq2\pi\ \Longrightarrow\ 0\leq2k+1\leq6$.
پس $k\in\{0,1,2\}$ و جواب‌های این حالت عبارت‌اند از:
$B=\left\{\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.

گام چهارم: شمارش جواب‌های متمایز
مقدار $x=\pi$ در هر دو مجموعه وجود دارد؛ بنابراین باید فقط یک بار شمرده شود. مجموعهٔ نهایی جواب‌ها برابر است با:
$A\cup B=\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right\}$.
در نتیجه تعداد جواب‌های متمایز برابر $5$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین دامنه، باید تمام اجزای تابع هم‌زمان تعریف شده باشند و مخرج نیز صفر نشود.

گام اول: شرط لگاریتم
دامنهٔ تابع لگاریتمی، اعداد حقیقی مثبت است؛ بنابراین عبارت داخل لگاریتم باید اکیداً مثبت باشد (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۷–۱۰۹). مبنای $4$ نیز مثبت و مخالف $1$ است، پس مشکلی ندارد. در نتیجه:
$x^2-x-2>0$
با تجزیه داریم:
$(x-2)(x+1)>0$
دو عامل وقتی هم‌علامت‌اند که هر دو منفی یا هر دو مثبت باشند؛ بنابراین:
$x<-1\quad\text{یا}\quad x>2$
پس مجموعهٔ مجاز از نظر لگاریتم برابر است با:
$A=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$
دو ریشه در این مجموعه نیستند، زیرا لگاریتم صفر تعریف نمی‌شود.

گام دوم: شرط رادیکال
برای تعریف ریشهٔ دوم در اعداد حقیقی، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
$x^2-1\geq0\iff(x-1)(x+1)\geq0$
پس:
$B=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

گام سوم: شرط مخرج
هرجا رادیکال تعریف شده باشد، داریم:
$\sqrt{x^2-1}\geq0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{x^2-1}+1\geq1>0$
بنابراین مخرج هیچ‌گاه صفر نمی‌شود و محدودیت تازه‌ای ایجاد نمی‌کند.

گام چهارم: اشتراک شرط‌ها
تمام اعضای مجموعهٔ $A$ شرط رادیکال را نیز دارند؛ پس:
$D_f=A\cap B=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا مختصات نقطهٔ تقاطع را پیدا می‌کنیم و سپس فاصلهٔ آن را از مبدأ به دست می‌آوریم.

گام اول: تعیین دامنه و علامت طول نقطه
برای تعریف شدن رادیکال‌ها لازم است:
$y+3\geq 0,\qquad y-3\geq 0\quad\Rightarrow\quad y\geq 3$.
همچنین چون $\sqrt{y+3}>\sqrt{y-3}$، از معادلهٔ دوم نتیجه می‌شود $x>0$.

گام دوم: حل دستگاه
دو طرف معادلهٔ دوم را به توان دو می‌رسانیم:
$x^2=\left(\sqrt{y+3}-\sqrt{y-3}\right)^2$
$= (y+3)+(y-3)-2\sqrt{(y+3)(y-3)}$
$=2y-2\sqrt{y^2-9}$.
از معادلهٔ اول نیز داریم $x^2=2y$. بنابراین:
$2y=2y-2\sqrt{y^2-9}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{y^2-9}=0$.
پس:
$y^2=9\quad\Rightarrow\quad y=\pm3$.
با توجه به شرط $y\geq3$، فقط $y=3$ پذیرفتنی است. اکنون:
$x^2=2(3)=6$.
چون $x>0$، داریم $x=\sqrt{6}$. این مقدار در معادلهٔ اصلی نیز برقرار است:
$\sqrt{3+3}-\sqrt{3-3}=\sqrt{6}$.
پس نقطهٔ تقاطع برابر $P(\sqrt{6},3)$ است.

گام سوم: محاسبهٔ فاصله از مبدأ
طبق فرمول فاصلهٔ دو نقطه، برای فاصلهٔ $P(x,y)$ از مبدأ $O(0,0)$ داریم $OP=\sqrt{x^2+y^2}$ (ریاضی ۲، صفحه‌های ۴ و ۵؛ کاربرد فاصله از مبدأ در صفحهٔ ۶).
بنابراین:
$OP=\sqrt{(\sqrt{6})^2+3^2}=\sqrt{6+9}=\sqrt{15}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا با استفاده از قانون جمع توان‌ها در ضرب، از صورت و مخرج عامل مشترک می‌گیریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹۸):

$3^x+3^{x+1}+\cdots+3^{x+5}=3^x(1+3+9+27+81+243)=364\times3^x$

$2^{x-2}+2^{x-1}+\cdots+2^{x+3}=2^{x-2}(1+2+4+8+16+32)=63\times2^{x-2}$

پس معادلهٔ سؤال به شکل زیر درمی‌آید:

$52=\frac{364\times3^x}{63\times2^{x-2}}$

بنابراین:

$\frac{3^x}{2^{x-2}}=\frac{52\times63}{364}=9$

اکنون توجه می‌کنیم که $2^{x-2}=\frac{2^x}{4}$؛ در نتیجه، با استفاده از قانون توانِ خارج‌قسمت (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹۸)، داریم:

$4\times\frac{3^x}{2^x}=9\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2$

تابع نمایی با پایهٔ مثبت و مخالف یک، یک‌به‌یک است؛ بنابراین از برابر بودن توان‌های هم‌پایه، برابری نماها نتیجه می‌شود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۴):

$x=2$

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ نوشتن ضابطهٔ نمودار انتقال‌یافته:
اگر $f(x)=2^{|\sin x|}$ باشد، انتقال به اندازهٔ $\frac{\pi}{2}$ به راست، ضابطه را به $f(x-\frac{\pi}{2})$ تبدیل می‌کند. سپس برای انتقال به اندازهٔ $\frac{3}{2}$ به پایین، همین مقدار را از خروجی کم می‌کنیم. بنابراین، با استفاده از قواعد تبدیل نمودار توابع داریم (ریاضی ۳، مبحث تبدیل نمودار توابع، صفحهٔ ۱۵–۱۸):
$g(x)=2^{|\sin(x-\frac{\pi}{2})|}-\frac{3}{2}$.
چون $\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x$، نتیجه می‌شود:
$g(x)=2^{|\cos x|}-\frac{3}{2}$.

گام دوم ـ بررسی علامت تابع در نقاط مهم:
تقاطع با محور $x$ها یعنی $g(x)=0$. در ابتدا، وسط و انتهای بازه داریم:
$g(0)=2^1-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$،
$g(\frac{\pi}{2})=2^0-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$،
$g(\pi)=2^1-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
تابع $g$ پیوسته است؛ پس به دلیل تغییر علامت، در هر یک از بازه‌های $(0,\frac{\pi}{2})$ و $(\frac{\pi}{2},\pi)$ دست‌کم یک ریشه دارد.

گام سوم ـ اطمینان از تعداد تقاطع‌ها:
در بازهٔ $[0,\frac{\pi}{2}]$، تابع $|\cos x|=\cos x$ اکیداً نزولی است؛ بنابراین $2^{|\cos x|}-\frac{3}{2}$ نیز اکیداً نزولی است و بیش از یک ریشه ندارد.
در بازهٔ $[\frac{\pi}{2},\pi]$، تابع $|\cos x|=-\cos x$ اکیداً صعودی است؛ پس تابع $g$ نیز اکیداً صعودی است و در این بازه هم بیش از یک ریشه ندارد. این بررسی بر پایهٔ مفهوم یکنوایی و رفتار نمودار کسینوس است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹).
پس در هر نیمه دقیقاً یک تقاطع و در کل بازه، دو تقاطع وجود دارد؛ هیچ‌یک از نقاط ابتدا، وسط و انتهای بازه نیز ریشه نیستند.
پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: ارتباط دو لگاریتم را بنویسیم. طبق رابطهٔ معکوس‌بودن لگاریتم‌ها داریم:
$\log_x y\times\log_y x=1$
(ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴).

چون $x>1$ و $y>1$، هر دو لگاریتم تعریف شده و مثبت‌اند. بنابراین اگر $t=\log_x y$ قرار دهیم، داریم $t>0$ و $\log_y x=\frac{1}{t}$.

گام دوم: با جای‌گذاری در معادلهٔ سؤال به دست می‌آوریم:
$t-\frac{2}{t}=1$.
چون $t\ne0$، دو طرف را در $t$ ضرب می‌کنیم:
$t^2-2=t\quad\Rightarrow\quad t^2-t-2=0$.
با تجزیه داریم:
$(t-2)(t+1)=0\quad\Rightarrow\quad t=2\ \text{یا}\ t=-1$.
ریشهٔ $t=-1$ به دلیل شرط $t>0$ پذیرفته نیست؛ پس $t=2$.

گام سوم: اکنون $\log_x y=2$ است. با تبدیل صورت لگاریتمی به نمایی، نتیجه می‌شود:
$y=x^2$
(ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۲).

برای بررسی، در این حالت $\log_y x=\frac{1}{2}$ است و معادلهٔ اولیه به صورت $2-2\times\frac{1}{2}=1$ برقرار می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای محاسبهٔ حد، ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم تا بتوانیم از قواعد حد در بی‌نهایت استفاده کنیم. طبق این قواعد، معکوس توان‌های مثبتِ $x$ در بی‌نهایت به صفر میل می‌کند و حد تفاضلِ دو تابع با حدهای متناهی، برابر تفاضل حدهای آن‌هاست (ریاضی ۳، صفحات ۵۹–۶۰).

گام اول: چون $x\to+\infty$، می‌توان $x$ را مثبت در نظر گرفت. بنابراین عامل $\sqrt{x}$ را در هر دو رادیکال ضرب می‌کنیم:
$\sqrt{x}\left(\sqrt{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\right)=\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}-\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}}$.

گام دوم: عبارت زیر رادیکال دوم را با مخرج مشترک ساده می‌کنیم:
$\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x(x^2+1)}$.
پس حد موردنظر برابر است با:
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}-\sqrt{\frac{1}{x(x^2+1)}}\right)$.

گام سوم: برای حد رادیکال اول، صورت و مخرجِ کسر را بر $x$ تقسیم می‌کنیم؛ این همان روش ساده‌سازی کسرها در حدِ بی‌نهایت است که در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰):
$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\longrightarrow1$.
بنابراین:
$\sqrt{\frac{x}{x+1}+1}\longrightarrow\sqrt{2}$.

برای رادیکال دوم نیز داریم:
$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}\longrightarrow0$،
پس رادیکال دوم به صفر میل می‌کند.

در نتیجه، حد برابر است با $\sqrt{2}-0=\sqrt{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: حد عبارت داخل جزء صحیح را پیدا می‌کنیم. طبق قاعدهٔ حد سینوس، حد این تابع در هر نقطه برابر مقدار سینوس همان نقطه است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۴–۱۳۵). بنابراین با استفاده از قوانین حد داریم:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{6}^-}(2\sin x-1)=2\sin\frac{\pi}{6}-1=2\times\frac12-1=0$.
اما نمی‌توان بدون بررسی جهت نزدیک‌شدن، جزء صحیحِ این حد را پاسخ دانست؛ زیرا تابع جزء صحیح در صفر پیوسته نیست.

گام دوم: جهت نزدیک‌شدن به صفر را تعیین می‌کنیم. سینوس در همسایگی $\pi/6$ صعودی است؛ پس برای $x<\pi/6$ و نزدیک به آن، داریم $\sin x<\frac12$ و در نتیجه $2\sin x-1<0$. همچنین می‌توان این همسایگی را چنان کوچک گرفت که $0<x<\pi/6$ باشد؛ در این صورت:
$0<\sin x<\frac12\quad\Rightarrow\quad -1<2\sin x-1<0$.

گام سوم: جزء صحیح را اعمال می‌کنیم. جزء صحیح هر عدد در بازهٔ $(-1,0)$ برابر $-1$ است؛ این رفتار از نمودار تابع جزء صحیح نیز دیده می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴). پس برای تمام $x$های به‌اندازهٔ کافی نزدیک به نقطه از سمت چپ، داریم:
$[2\sin x-1]=-1$.
بنابراین تابع در این سمت مقدار ثابتی دارد و با توجه به قاعدهٔ حد تابع ثابت (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۸–۱۳۰):
$\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{6}^-}[2\sin x-1]=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: قرینه‌سازی نسبت به خط $y=x$
در قرینه‌سازی نسبت به این خط، جای طول و عرض هر نقطه عوض می‌شود؛ پس نمودار حاصل، نمودار وارون تابع اولیه است. روش محاسبهٔ ضابطهٔ وارون در درس دوم فصل تابع آمده است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۶۲–۶۴).

در معادلهٔ اولیه جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:
$y=2+\sqrt{x-1}\quad\Longrightarrow\quad x=2+\sqrt{y-1}$
پس:
$x-2=\sqrt{y-1}$
چون مقدار رادیکال نامنفی است، باید $x\geq 2$ باشد. اکنون دو طرف را به توان دو می‌رسانیم:
$(x-2)^2=y-1\quad\Longrightarrow\quad y=(x-2)^2+1$
بنابراین تابع حاصل از قرینه‌سازی را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$h(x)=(x-2)^2+1,\qquad x\geq 2$
این نمودار، بخش سمت راست سهمی با رأس $(2,1)$ است، نه کل سهمی.

گام دوم: اعمال انتقال‌ها
انتقال به‌اندازهٔ $2$ واحد به راست، با جایگزینی $x-2$ به‌جای $x$ انجام می‌شود؛ انتقال به‌اندازهٔ $3$ واحد به پایین نیز با کم کردن $3$ از مقدار تابع انجام می‌شود. این قواعد با فعالیت انتقال نمودارها در کتاب سازگارند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۵۳). پس:
$g(x)=h(x-2)-3$
$g(x)=((x-2)-2)^2+1-3=(x-4)^2-2$
دامنه نیز با انتقال افقی به $x\geq 4$ تبدیل می‌شود؛ بنابراین مقدار خواسته‌شده تعریف شده است.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار تابع
$g(4)=(4-4)^2-2=-2$

پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع ترکیب را $h(x)=(g\circ f)(x)=g(1-x^2)$ می‌نامیم.

گام اول: تعیین ضابطهٔ ترکیب
تابع $g$ به ورودی مثبت مقدار $1$، به ورودی صفر مقدار $0$ و به ورودی منفی مقدار $-1$ می‌دهد. پس باید علامت $1-x^2$ را مشخص کنیم:
$1-x^2>0\iff -1<x<1$،
$1-x^2=0\iff x=\pm1$،
$1-x^2<0\iff x<-1\ \text{یا}\ x>1$.
بنابراین:
$h(x)=\begin{cases}1&-1<x<1\\0&x=\pm1\\-1&x<-1\ \text{یا}\ x>1.\end{cases}$

گام دوم: بررسی نقاط تغییر ضابطه
طبق معیار پیوستگی، حدهای چپ و راست در یک نقطه باید با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند؛ پس متفاوت بودن حدهای یک‌طرفه برای اثبات ناپیوستگی کافی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰).

در $x=-1$ داریم:
$\lim_{x\to-1^-}h(x)=-1$ و $\lim_{x\to-1^+}h(x)=1$.
این دو حد برابر نیستند؛ بنابراین تابع در $x=-1$ ناپیوسته است.

در $x=1$ نیز داریم:
$\lim_{x\to1^-}h(x)=1$ و $\lim_{x\to1^+}h(x)=-1$.
پس تابع در $x=1$ نیز ناپیوسته است.

گام سوم: بررسی سایر نقاط
تابع روی هر یک از بازه‌های $(-\infty,-1)$، $(-1,1)$ و $(1,+\infty)$ ثابت است؛ بنابراین در تمام نقاط این بازه‌ها پیوسته است و نقطهٔ ناپیوستگی دیگری ندارد.

در نتیجه، تعداد نقاط ناپیوستگی برابر با $2$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۳

برای یافتن اکسترمم‌های نسبی، هم صفرهای مشتق و هم نقاطی را بررسی می‌کنیم که تابع در آن‌ها تعریف شده، ولی مشتق ندارد. وجود اکسترمم در نقاط شکستِ تابع قدرمطلقی نیز ممکن است؛ مانند مثال کتاب (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷).

گام اول: دامنه و بازکردن قدرمطلق
مخرج نباید صفر باشد، پس:
$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.
بنابراین $x=\pm1$ نمی‌توانند طول نقاط اکسترمم باشند.

با توجه به علامت عبارت داخل قدرمطلق داریم:
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2(x^2-4)}{x^2-1}& |x|\ge2,\\[4pt]\dfrac{x^2(4-x^2)}{x^2-1}& |x|<2,\quad x\ne\pm1.\end{cases}$

گام دوم: محاسبهٔ مشتق در شاخه‌ها
قرار می‌دهیم:
$g(x)=\dfrac{x^2(x^2-4)}{x^2-1}$.
با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت:
$g'(x)=\dfrac{(4x^3-8x)(x^2-1)-2x(x^4-4x^2)}{(x^2-1)^2}=\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}$.

در نتیجه:
$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}& |x|>2,\\[4pt]-\dfrac{2x\big((x^2-1)^2+3\big)}{(x^2-1)^2}& |x|<2,\quad x\ne\pm1.\end{cases}$

چون $\big((x^2-1)^2+3\big)>0$ و مخرج نیز در دامنه مثبت است، در شاخه‌های بیرونی علامت مشتق همان علامت $x$ و در شاخهٔ درونی مخالف علامت $x$ است. تنها صفر مشتق، $x=0$ است.

گام سوم: بررسی تغییر رفتار تابع
طبق تعریف اکسترمم نسبی، تغییر رفتار از نزولی به صعودی نشان‌دهندهٔ مینیمم نسبی و تغییر رفتار از صعودی به نزولی نشان‌دهندهٔ ماکزیمم نسبی است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۰۴–۱۰۵).

ـ در $x=-2$، مشتق در سمت چپ منفی و در سمت راست مثبت است. تابع در این نقطه پیوسته است؛ پس $(-2,0)$ مینیمم نسبی است.

ـ در $x=0$، مشتق در سمت چپ مثبت و در سمت راست منفی است؛ پس $(0,0)$ ماکزیمم نسبی است. توجه کنید که نزدیک این نقطه، صورت تابع مثبت و مخرج منفی است، بنابراین مقادیر تابع از مقدار آن در مبدأ کوچک‌ترند.

ـ در $x=2$، مشتق در سمت چپ منفی و در سمت راست مثبت است. تابع در این نقطه نیز پیوسته است؛ پس $(2,0)$ مینیمم نسبی است.

در سایر نقاط دامنه، مشتق ناصفر است و تغییر رفتار دیگری نداریم. بنابراین تابع دارای $3$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است: دو مینیمم نسبی و یک ماکزیمم نسبی.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین نقطهٔ نیازمند بررسی

هر دو شاخهٔ تابع چندجمله‌ای‌اند؛ بنابراین خارج از $x=k$ مشتق‌پذیرند و فقط باید اتصال آن‌ها را در این نقطه بررسی کنیم. مطابق مبحث مشتق‌پذیری، مشتق‌پذیری در محل اتصال مستلزم پیوستگی و برابر بودن مشتق‌های چپ و راست است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۸–۸۹).

۲. استفاده از برابری مشتق‌های یک‌طرفه

با قواعد مشتق‌گیری چندجمله‌ای‌ها داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
$g'(x)=2ax+b,\qquad g''(x)=2a$.

شاخهٔ راستِ $f$ برابر $g$ و شاخهٔ چپ آن برابر $g'$ است. پس با در نظر گرفتن پیوستگی در محل اتصال، برابری مشتق‌های یک‌طرفه می‌دهد:
$g'(k)=g''(k)\Rightarrow 2ak+b=2a$.

بنابراین:
$b=2a(1-k)$.

۳. استفاده از پیوستگی

چون $f(k)=g(k)$ است، پیوستگی در محل اتصال ایجاب می‌کند:
$g(k)=g'(k)\Rightarrow ak^2+bk+c=2ak+b$.

از مرحلهٔ قبل می‌دانیم $2ak+b=2a$؛ پس:
$c=2a-ak^2-bk$.

با جای‌گذاری عبارت $b$:
$c=2a-ak^2-2ak(1-k)=a(k^2-2k+2)$.

۴. اعمال شرط داده‌شده و یافتن بیشترین مقدار

اکنون شرط $b+c=a$ را به کار می‌بریم:
$2a(1-k)+a(k^2-2k+2)=a$.

چون $a\ne0$، دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:
$k^2-4k+4=1\Rightarrow (k-2)^2=1$.

پس:
$k=1\quad\text{یا}\quad k=3$.

هر دو مقدار قابل تحقق‌اند و بزرگ‌ترِ آن‌ها $3$ است. برای اطمینان از تحقق این مقدار، می‌توان $a=1$، $b=-4$ و $c=5$ را انتخاب کرد؛ در این صورت $b+c=a$ و در $k=3$ نیز $g(3)=g'(3)=2$ و $g''(3)=2$ است. بنابراین تابع در محل اتصال هم پیوسته و هم مشتق‌پذیر است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا قید هندسی را می‌نویسیم، سپس مساحت جانبی را به تابعی از یک متغیر تبدیل کرده و بیشینهٔ آن را با مشتق می‌یابیم؛ این همان روش بهینه‌سازی مطرح‌شده در کتاب است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام اول: رابطهٔ شعاع و ارتفاع استوانه
شعاع قاعدهٔ استوانه را $r$، ارتفاع آن را $h$ و شعاع کره را $R=4\sqrt{2}$ می‌نامیم. مقطع گذرنده از محور استوانه، مستطیلی محاط در یک دایرهٔ عظیمهٔ کره است. با اتصال مرکز این مستطیل به یکی از رأس‌ها، مثلث قائم‌الزاویه‌ای داریم که ضلع‌های قائمش $r$ و $h/2$ و وترش $R$ است. بنابراین:
$r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2=32$
پس:
$h=2\sqrt{32-r^2}$

گام دوم: نوشتن تابع هدف
مساحت جانبی استوانه برابر $S=2\pi rh$ است؛ دقت کنید که مساحت قاعده‌ها در آن وارد نمی‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۸). با جایگذاری ارتفاع:
$S(r)=4\pi r\sqrt{32-r^2},\qquad 0<r<4\sqrt{2}$

گام سوم: یافتن نقطهٔ بیشینه
مشتق تابع برابر است با:
$S'(r)=4\pi\left(\sqrt{32-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{32-r^2}}\right)=\frac{4\pi(32-2r^2)}{\sqrt{32-r^2}}$
در دامنهٔ مسئله مخرج مثبت است؛ پس:
$S'(r)=0\Rightarrow32-2r^2=0\Rightarrow r=4$
برای $0<r<4$ مشتق مثبت و برای $4<r<4\sqrt{2}$ مشتق منفی است؛ بنابراین تابع ابتدا صعودی و سپس نزولی است و در $r=4$ بیشینهٔ مطلق دارد. این بررسی تغییر علامت، مطابق روش کتاب برای تشخیص بیشینه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام چهارم: محاسبهٔ مساحت بیشینه
ارتفاع متناظر برابر است با:
$h=2\sqrt{32-16}=8$
در نتیجه:
$S_{\max}=2\pi\times4\times8=64\pi$

پاسخ: گزینهٔ ۲

نکتهٔ ضروری: صورت سؤالِ ارائه‌شده با گزینهٔ تأییدشده سازگار نیست؛ برای رسیدن به گزینهٔ کلید باید فرضی به متن اضافه شود.

۱. تعریف پیشامدها
پیشامد قبولی در امتحان اول را $A$ و قبولی در امتحان دوم را $B$ می‌نامیم. عبارت «در دو امتحان متوالی نمرهٔ قبولی بگیرد» به معنای قبولی در هر دو امتحان است؛ بنابراین داریم:
$P(A\cap B)=0.85$.
احتمال خواسته‌شده نیز $P(A|B)$ است. طبق رابطهٔ احتمال شرطی در کتاب:
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
(ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۵–۱۴۶)

۲. نتیجهٔ برداشت مستقیم از صورت سؤال
اگر عبارت «احتمال قبولی در یک امتحان» برای هر یک از دو امتحان برقرار باشد، آنگاه $P(B)=0.9$ و در نتیجه:
$P(A|B)=\frac{0.85}{0.9}=\frac{17}{18}$.
این نتیجه گزینهٔ سوم است، نه گزینهٔ اعلام‌شده در کلید. اگر هم $0.9$ فقط احتمال قبولی در امتحان اول باشد، احتمال قبولی در امتحان دوم مشخص نیست و داده‌ها برای پاسخ یکتا کافی نیستند.

۳. چه فرض تکمیلی‌ای گزینهٔ کلید را نتیجه می‌دهد؟
برای به‌دست‌آوردن گزینهٔ دوم می‌توان فرض کرد، علاوه بر $P(A)=0.9$ و $P(A\cap B)=0.85$، احتمال قبولی در امتحان دوم به شرط مردودی در امتحان اول نیز $0.9$ باشد؛ یعنی:
$P(B|A^c)=0.9$.
این فرض در صورت سؤال نیامده است. با این فرض، طبق قانون احتمال کل داریم:
$P(B)=P(A\cap B)+P(A^c)P(B|A^c)$.
(ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۵–۱۴۶)
پس:
$P(B)=0.85+(1-0.9)\times0.9=0.94$.
اکنون احتمال شرطی مورد نظر برابر است با:
$P(A|B)=\frac{0.85}{0.94}=\frac{85}{94}$.

بنابراین گزینهٔ کلید فقط با فرض تکمیلی یادشده توجیه می‌شود و از متن فعلی به‌تنهایی نتیجه نمی‌شود. با لحاظ این فرض و مطابق کلید ارائه‌شده، پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بنویسیم.
طبق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم، مجموع ریشه‌ها برابر منفیِ نسبت ضریب جملهٔ درجهٔ اول به ضریب جملهٔ درجهٔ دوم و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر نسبت جملهٔ ثابت به ضریب جملهٔ درجهٔ دوم است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳). بنابراین برای معادلهٔ $ax^2+bx-c=0$ داریم:
$S=-\frac{b}{a},\qquad P=-\frac{c}{a}$.
دقت کنید که جملهٔ ثابت این معادله $-c$ است، نه $c$. همچنین چون $a,c>0$، داریم $\Delta=b^2+4ac>0$؛ پس همهٔ معادله‌های مورد بررسی دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارند (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱–۱۲).

گام دوم: شرط مسئله را به رابطه‌ای میان ضرایب تبدیل کنیم.
مجموع ریشه‌ها دو واحد بیشتر از حاصل‌ضرب آن‌هاست؛ پس:
$S=P+2\Rightarrow -\frac{b}{a}=-\frac{c}{a}+2\Rightarrow c=b+2a$.

گام سوم: ضرایب مجاز را بشماریم.
چون $1\le c\le9$ و $b\ge1$، باید:
$b+2a\le9\Rightarrow 1\le b\le9-2a$.
برای اینکه دست‌کم یک مقدار مجاز برای $b$ وجود داشته باشد، لازم است $9-2a\ge1$؛ بنابراین $a\in\{1,2,3,4\}$.
اکنون برای هر مقدار $a$، با انتخاب $b$، مقدار $c=b+2a$ به‌طور یکتا تعیین می‌شود:

• اگر $a=1$، آنگاه $b\in\{1,\ldots,7\}$؛ پس $7$ حالت داریم.
• اگر $a=2$، آنگاه $b\in\{1,\ldots,5\}$؛ پس $5$ حالت داریم.
• اگر $a=3$، آنگاه $b\in\{1,2,3\}$؛ پس $3$ حالت داریم.
• اگر $a=4$، فقط $b=1$ و در نتیجه $c=9$ مجاز است؛ پس $1$ حالت داریم.