سوال ۱۳۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ نوشتن ضابطهٔ نمودار انتقال‌یافته:
اگر $f(x)=2^{|\sin x|}$ باشد، انتقال به اندازهٔ $\frac{\pi}{2}$ به راست، ضابطه را به $f(x-\frac{\pi}{2})$ تبدیل می‌کند. سپس برای انتقال به اندازهٔ $\frac{3}{2}$ به پایین، همین مقدار را از خروجی کم می‌کنیم. بنابراین، با استفاده از قواعد تبدیل نمودار توابع داریم (ریاضی ۳، مبحث تبدیل نمودار توابع، صفحهٔ ۱۵–۱۸):
$g(x)=2^{|\sin(x-\frac{\pi}{2})|}-\frac{3}{2}$.
چون $\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x$، نتیجه می‌شود:
$g(x)=2^{|\cos x|}-\frac{3}{2}$.

گام دوم ـ بررسی علامت تابع در نقاط مهم:
تقاطع با محور $x$ها یعنی $g(x)=0$. در ابتدا، وسط و انتهای بازه داریم:
$g(0)=2^1-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$،
$g(\frac{\pi}{2})=2^0-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$،
$g(\pi)=2^1-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
تابع $g$ پیوسته است؛ پس به دلیل تغییر علامت، در هر یک از بازه‌های $(0,\frac{\pi}{2})$ و $(\frac{\pi}{2},\pi)$ دست‌کم یک ریشه دارد.

گام سوم ـ اطمینان از تعداد تقاطع‌ها:
در بازهٔ $[0,\frac{\pi}{2}]$، تابع $|\cos x|=\cos x$ اکیداً نزولی است؛ بنابراین $2^{|\cos x|}-\frac{3}{2}$ نیز اکیداً نزولی است و بیش از یک ریشه ندارد.
در بازهٔ $[\frac{\pi}{2},\pi]$، تابع $|\cos x|=-\cos x$ اکیداً صعودی است؛ پس تابع $g$ نیز اکیداً صعودی است و در این بازه هم بیش از یک ریشه ندارد. این بررسی بر پایهٔ مفهوم یکنوایی و رفتار نمودار کسینوس است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹).
پس در هر نیمه دقیقاً یک تقاطع و در کل بازه، دو تقاطع وجود دارد؛ هیچ‌یک از نقاط ابتدا، وسط و انتهای بازه نیز ریشه نیستند.
پاسخ: گزینهٔ ۳