دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۰۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۰۹ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۰۹ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۰۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

وارون تابع y=x3−x+1y=x^3-x+1 از کدام نقطه عبور می‌کند؟

  1. گزینهٔ ۱: (−1,−2)(-1,-2)
  2. گزینهٔ ۲: (58,12)(\frac{5}{8},\frac{1}{2})
  3. گزینهٔ ۳: (1,2)(1,2)
  4. گزینهٔ ۴: (−12,−118)(-\frac{1}{2},-\frac{11}{8})
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: معیار بررسی نقطه را بنویسیم.
طبق ویژگی نمودار تابع و وارون آن، با جابه‌جایی دو مؤلفهٔ هر نقطه، نقطهٔ متناظر روی نمودار وارون به دست می‌آید (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۴–۲۵). بنابراین برای اینکه نقطهٔ (a,b)(a,b) روی وارون قرار بگیرد، باید داشته باشیم:
f(b)=af(b)=a.
پس نیازی به حل معادلهٔ درجهٔ سوم و پیدا کردن ضابطهٔ وارون نیست.

گام دوم: نقطهٔ گزینهٔ دوم را بررسی کنیم.
برای نقطهٔ (58,12)(\frac58,\frac12)، مؤلفهٔ دوم را در تابع اصلی قرار می‌دهیم:
f(12)=(12)3−12+1=18−48+88=58f(\frac12)=(\frac12)^3-\frac12+1=\frac18-\frac48+\frac88=\frac58.
بنابراین نقطهٔ (12,58)(\frac12,\frac58) روی نمودار تابع اصلی قرار دارد و با جابه‌جایی مؤلفه‌ها، نقطهٔ (58,12)(\frac58,\frac12) روی رابطهٔ وارون قرار می‌گیرد؛ پس پاسخ موردنظر سؤال، گزینهٔ دوم است.

نکتهٔ دقت در صورت سؤال: تابع داده‌شده روی کل اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست؛ برای نمونه f(−1)=f(0)=f(1)=1f(-1)=f(0)=f(1)=1. طبق کتاب، چنین تابعی بدون محدود کردن مناسب دامنه، «تابع وارون» ندارد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۷–۲۸). بنابراین صورت سؤال از نظر تعیین دامنه دقیق نیست؛ پاسخ تأییدشده با تعبیر «رابطهٔ وارون» یا با فرض محدودسازی مناسب دامنه به دست می‌آید.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است بر اثر خطا در محاسبهٔ توان سومِ عدد منفی انتخاب شود. برای قرار گرفتن این نقطه روی رابطهٔ وارون باید f(−2)=−1f(-2)=-1 باشد، درحالی‌که f(−2)=−8+2+1=−5f(-2)=-8+2+1=-5 است.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است از جابه‌جا نکردن درست ورودی و خروجی ناشی شود. برای نقطهٔ (1,2)(1,2) باید f(2)=1f(2)=1 برقرار باشد، اما f(2)=8−2+1=7f(2)=8-2+1=7 است.
  • گزینهٔ ۴: این انتخاب می‌تواند حاصل اشتباه در علامت‌ها و فراموش کردن جابه‌جایی مؤلفه‌ها باشد. آزمون درست آن، بررسی f(−118)=−12f(-\frac{11}{8})=-\frac12 است؛ اما مقدار طرف چپ −115512-\frac{115}{512} می‌شود و با طرف راست برابر نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. ویژگیِ جابه‌جایی مؤلفه‌های نقاط در نمودار تابع و وارون آن را از درس سوم فصل تابع به یاد بیاور.
  2. برای بررسی نقطهٔ (a,b)(a,b) روی وارون، لازم نیست ضابطهٔ وارون را پیدا کنی؛ کافی است ببینی آیا f(b)=af(b)=a برقرار است.
  3. در گزینه‌ای که مؤلفهٔ دوم آن 12\frac12 است، مقدار f(12)=(12)3−12+1f(\frac12)=(\frac12)^3-\frac12+1 را حساب کن و با مؤلفهٔ اول همان نقطه مقایسه کن.

ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری