سوال ۱۰۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۰۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۰۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۰۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۵: تابع

نمودار تابع با ضابطه $f(x)=4x-x^2$ را در امتداد محور $x$ ها، ۲ واحد در جهت منفی انتقال می‌دهیم. فاصله نقطه برخورد منحنی حاصل با نمودار تابع $f$ ، از مبدأ مختصات کدام است؟

گزینهٔ ۱: $1$
گزینهٔ ۲: $2$
گزینهٔ ۳: $2\sqrt{5}$
گزینهٔ ۴: $\sqrt{10}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ضابطهٔ نمودار منتقل‌شده را بنویسیم.
طبق قاعدهٔ انتقال افقی، برای انتقال نمودار به اندازهٔ $2$ واحد در جهت منفی محور $x$ ، باید به‌جای $x$ ، عبارت $x+2$ را در ضابطه قرار دهیم (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۵). بنابراین:
$g(x)=f(x+2)=4(x+2)-(x+2)^2$
با بسط و ساده‌سازی داریم:
$g(x)=4x+8-x^2-4x-4=4-x^2$ .

گام دوم: مختصات نقطهٔ برخورد را پیدا کنیم.
در نقطهٔ مشترک، دو تابع برای یک طول یکسان، عرض یکسانی دارند؛ پس:
$f(x)=g(x)$
$4x-x^2=4-x^2$
$4x=4\Rightarrow x=1$ .
اکنون عرض نقطه را از تابع اولیه به دست می‌آوریم:
$y=f(1)=4(1)-1^2=3$ .
پس نقطهٔ برخورد دو نمودار $P=(1,3)$ است.

گام سوم: فاصلهٔ این نقطه از مبدأ را حساب کنیم.
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، فاصلهٔ نقطهٔ $P=(x,y)$ از مبدأ برابر $d=\sqrt{x^2+y^2}$ است. بنابراین:
$d=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است پس از حل معادلهٔ برخورد، طول نقطه یعنی $x=1$ را پاسخ بگیرید؛ اما فاصله از مبدأ به هر دو مؤلفهٔ نقطه وابسته است، نه فقط طول آن.
گزینهٔ ۲: ممکن است اندازهٔ انتقال، یعنی $2$ واحد، را با فاصلهٔ خواسته‌شده اشتباه بگیرید. این عدد جابه‌جایی افقی نمودار است، نه فاصلهٔ نقطهٔ برخورد دو نمودار از مبدأ.
گزینهٔ ۳: اگر به‌جای نقطهٔ برخورد، رأس سهمی اولیه یعنی $(2,4)$ را در نظر بگیرید، فاصلهٔ آن از مبدأ $\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$ می‌شود؛ اما رأس سهمی اولیه روی نمودار منتقل‌شده قرار ندارد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

قاعدهٔ انتقال افقی نمودار را از بخش «رسم برخی توابع به کمک انتقال» به یاد بیاورید: انتقال به چپ با تغییر ورودی تابع انجام می‌شود، نه با کم‌کردن عددی از خروجی.
ضابطهٔ نمودار جدید $g(x)=f(x+2)$ است. برای یافتن نقطهٔ مشترک، معادلهٔ $f(x)=g(x)$ را حل کنید؛ با بسط عبارت‌ها، جمله‌های درجهٔ دوم حذف می‌شوند.
پس از یافتن طول نقطهٔ برخورد، آن را در تابع اولیه قرار دهید تا عرض نقطه به دست آید؛ سپس از رابطهٔ $d=\sqrt{x^2+y^2}$ برای فاصله از مبدأ استفاده کنید.

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.