نمونه سوال فصل ۵ ریاضی دهم با جواب

در تابع از $A$ به $B$، برای هر عضو $A$ باید دقیقاً یک خروجی تعیین شود؛ اما مشترک‌بودن خروجی چند ورودی ممنوع نیست (صفحهٔ ۹۷). همچنین برد می‌تواند فقط بخشی از مجموعهٔ مقصد باشد (صفحهٔ ۱۰۱). بنابراین متفاوت‌بودن همهٔ خروجی‌ها یا استفاده‌شدن از همهٔ اعضای $B$ ضروری نیست، ولی هیچ عضو $A$ نمی‌تواند بدون خروجی بماند. پاسخ: گزینهٔ ۱

برای ساختن تابع، هر عضو دامنه باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد (صفحهٔ ۹۷) و برد شامل خروجی‌هایی است که واقعاً به کار رفته‌اند (صفحهٔ ۱۰۱). از مجموعهٔ سه‌عضوی $B$، می‌توان به $3$ روش دو عضو برای برد انتخاب کرد. برای هر جفت انتخاب‌شده، هرکدام از سه عضو دامنه دو انتخاب دارد؛ پس $2\times2\times2=8$ تخصیص داریم. دو تخصیص، همهٔ ورودی‌ها را به تنها یکی از دو خروجی می‌فرستند و باید حذف شوند. بنابراین تعداد مطلوب برابر است با $3(8-2)=18$. پاسخ: گزینهٔ ۲

برد تابع به دامنهٔ آن وابسته است؛ حتی اگر ضابطه تغییر نکند (صفحهٔ ۱۱۱). چون $0\in[-2,3]$، کمترین مقدار $x^2$ برابر $0$ است. همچنین برای همهٔ اعضای این دامنه، $|x|\leq3$ و در نتیجه $x^2\leq9$ است. هر عدد $y\in[0,9]$ نیز با انتخاب $x=\sqrt{y}\in[0,3]$ به دست می‌آید. پس برد دقیقاً $[0,9]$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

در تابع قدرمطلق، هر ورودی به قدرمطلق خودش نسبت داده می‌شود (صفحهٔ ۱۱۲). برای دامنهٔ داده‌شده داریم: $f(-4)=4$، $f(-2)=2$، $f(0)=0$، $f(2)=2$ و $f(5)=5$. بنابراین ورودی‌های موردنظر $-4$، $-2$ و $2$ هستند و مجموع آنها برابر است با $-4-2+2=-4$. باید ورودی‌ها را جمع کرد، نه خروجی‌ها را؛ تمایز این دو با تعریف دامنه و برد روشن می‌شود (صفحهٔ ۱۰۱). پاسخ: گزینهٔ ۴

هر عدد طبیعی، حقیقی نیز هست. بنابراین هر ورودی مجاز برای $f$، برای $g$ نیز مجاز است و چون ضابطه‌ها یکسان‌اند، خروجی یکسانی تولید می‌شود. در نتیجه همهٔ نقاط نمودار $f$ روی نمودار $g$ قرار دارند. بااین‌حال نمودارها برابر نیستند؛ برای نمونه، نقطهٔ $(\tfrac12,0)$ روی نمودار $g$ قرار دارد، ولی ورودی آن برای $f$ مجاز نیست. این تفاوت همان اثر تغییر دامنه بر نمایش تابع است (صفحه‌های ۱۰۲ و ۱۰۳). پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق تعریف تابع خطی، می‌نویسیم $f(x)=ax+b$ (صفحهٔ ۱۰۳). از $f(0)=4$ نتیجه می‌شود $b=4$. همچنین $f(1)=1$ می‌دهد $a+4=1$، پس $a=-3$ و ضابطه برابر $f(x)=-3x+4$ است. با محدودکردن دامنه به مجموعهٔ داده‌شده، داریم $f(-2)=10$، $f(0)=4$ و $f(3)=-5$. برد، مجموعهٔ همین خروجی‌هاست (صفحهٔ ۱۰۱)؛ بنابراین برد جدید $\{-5,4,10\}$ خواهد بود. پاسخ: گزینهٔ ۱

تابع ثابت بردی تک‌عضوی دارد، درحالی‌که در تابع همانی، دامنه و برد برابرند و هر ورودی به خودش نسبت داده می‌شود (صفحه‌های ۱۱۰ و ۱۱۱). پس اگر تابعی هر دو ویژگی را داشته باشد، دامنهٔ آن نیز باید تک‌عضوی باشد. اگر این عضو را $c$ بنامیم، تابع به صورت $\{(c,c)\}$ خواهد بود. مقدار $c$ لزوماً صفر نیست. پاسخ: گزینهٔ ۴

در تابع چندضابطه‌ای، باید ضابطهٔ متناسب با هر بخش دامنه را به کار برد (صفحهٔ ۱۱۲). برای $-2\leq x<0$ داریم $0<-x\leq2$؛ بنابراین $-3<-x-3\leq-1$ و برد شاخهٔ منفی $(-3,-1]$ است. برای $0\leq x\leq1$ نیز $0\leq x^2\leq1$، پس برد شاخهٔ دیگر $[0,1]$ است. چون برد شامل همهٔ خروجی‌های تابع است (صفحهٔ ۱۰۱)، برد نهایی برابر اجتماع این دو مجموعه، یعنی $(-3,-1]\cup[0,1]$ خواهد بود. پاسخ: گزینهٔ ۳

در نمایش زوج‌های مرتب، یک ورودی نباید دو خروجی متفاوت داشته باشد. همچنین با جابه‌جایی مؤلفه‌ها، خروجی‌های رابطهٔ اولیه به ورودی‌های رابطهٔ جدید تبدیل می‌شوند (صفحه‌های ۹۷ تا ۹۹). افزودن زوج $(3,6)$ رابطهٔ $\{(1,4),(2,5),(3,6)\}$ را می‌سازد که تابع است. رابطهٔ حاصل از جابه‌جایی مؤلفه‌ها نیز $\{(4,1),(5,2),(6,3)\}$ است و هر ورودی آن فقط یک خروجی دارد. در سایر گزینه‌ها، یا رابطهٔ اولیه و یا رابطهٔ حاصل از جابه‌جایی، ورودی با دو خروجی متفاوت دارد. پاسخ: گزینهٔ ۲

در الگوی هزینهٔ پله‌ای، باید به باز یا بسته بودن انتهای بازه‌ها توجه کرد (صفحهٔ ۱۱۷). تماس نخست دقیقاً $3$ دقیقه طول کشیده است، پس هزینهٔ آن $2$ هزار تومان است. مدت تماس دوم $3.01$ دقیقه است و در بازهٔ $3<t\leq4$ قرار دارد؛ بنابراین هزینهٔ آن $3$ هزار تومان خواهد بود. در نتیجه، مجموع هزینه برابر است با $2+3=5$ هزار تومان. پاسخ: گزینهٔ ۴

دامنه مجموعهٔ ورودی‌های مجاز و برد مجموعهٔ خروجی‌های تابع است (صفحهٔ ۱۰۱). در تابع $g(x)=f(x+2)-3$، نمودار تابع اصلی به اندازهٔ $2$ واحد به چپ و $3$ واحد به پایین منتقل می‌شود (صفحه‌های ۱۱۳ و ۱۱۴). برای مجاز بودن ورودی داریم $-3\leq x+2\leq2$، پس $-5\leq x\leq0$. همچنین تمام خروجی‌های تابع اصلی به اندازهٔ $3$ واحد کاهش می‌یابند؛ بنابراین برد جدید برابر $[-1-3,4-3]=[-4,1]$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تابع بودن رابطه، هر ورودی باید تنها یک خروجی داشته باشد؛ بنابراین در محل اشتراک شرط‌های دو شاخه، مقادیر دو ضابطه باید یکسان باشند (صفحه‌های ۹۹ و ۱۱۷). اشتراک دو شرط فقط در $x=a$ است، پس باید $a^2-2a=-a$ باشد. از $a(a-1)=0$، دو مقدار مجاز $a=0$ و $a=1$ به دست می‌آید. اگر $a=0$ باشد، ورودی $\frac{1}{2}$ در شاخهٔ دوم قرار می‌گیرد و $h(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$ است. اگر $a=1$ باشد، این ورودی در شاخهٔ اول قرار می‌گیرد و $h(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$ خواهد بود. پس مجموع مقادیر متمایز برابر $-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳