نمونه سوال فصل ۶ ریاضی دهم با جواب

برای کلیپ، انتخاب قالب و موسیقی دو مرحلهٔ ضروری‌اند؛ بنابراین طبق اصل ضرب، $3\times2=6$ کلیپ ممکن است. پوستر و کلیپ دو انتخاب جایگزین هستند؛ پس طبق اصل جمع، تعداد انتخاب‌ها برابر است با $4+6=10$ (صفحه‌های ۱۲۰ تا ۱۲۲). پاسخ: گزینهٔ ۱

کارت‌های «الف» و «ب» به‌ترتیب در ابتدا و انتهای ردیف ثابت‌اند. بنابراین چهار کارت متمایز دیگر باید در چهار جایگاه میانی چیده شوند. تعداد این چیدمان‌ها برابر با $4!$ است (صفحه‌های ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

ارقام یکان می‌توانند $0$، $2$ یا $4$ باشند. اگر یکان صفر باشد، سه جایگاه دیگر با ارقام غیرصفر و بدون تکرار به $4\times3\times2=24$ روش پر می‌شوند. اگر یکان $2$ یا $4$ باشد، برای یکان دو انتخاب داریم؛ صفر باید در یکی از دو جایگاه میانی قرار گیرد و دو جایگاه دیگر با دو رقم از سه رقم غیرصفر باقی‌مانده پر شوند. تعداد این حالت‌ها $2\times2\times3\times2=24$ است. پس مجموع برابر است با $24+24=48$ (صفحه‌های ۱۲۳ و ۱۲۴). پاسخ: گزینهٔ ۴

هر انتخاب نهایی شامل یک کارگاه و یک پروژهٔ همان کارگاه است. با انتخاب کارگاه نخست، دوم و سوم، به‌ترتیب $2$، $4$ و $5$ انتخاب نهایی وجود دارد. این سه دسته اشتراک ندارند؛ پس اصل جمع تعداد کل را به صورت $2+4+5$ می‌دهد. نمی‌توان تعداد کارگاه‌ها را در یک تعداد ثابت از پروژه‌ها ضرب کرد، زیرا تعداد پروژه‌ها در کارگاه‌ها یکسان نیست (صفحه‌های ۱۲۰ و ۱۲۱). پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر نرگس مسئول هماهنگی باشد، دو مسئولیت دیگر به $6\times5=30$ روش به دو نفر از افراد باقی‌مانده واگذار می‌شود. اگر نرگس انتخاب نشود، سه مسئولیت متمایز به $6\times5\times4=120$ روش بین شش نفر دیگر توزیع می‌شود. این دو حالت جدا هستند؛ بنابراین تعداد کل برابر با $30+120=150$ است (صفحه‌های ۱۲۰، ۱۲۱، ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر ریاضی نخستین کتاب باشد، $4!$ چیدمان داریم؛ اما در $3!$ چیدمان، زیست نیز آخرین کتاب است. پس تعداد حالت‌هایی که فقط شرط نخست برقرار است، $4!-3!=18$ است. به همین ترتیب، تعداد حالت‌هایی که فقط شرط دوم برقرار باشد نیز $18$ است. این دو دسته جدا هستند و مجموع آن‌ها $18+18=36$ می‌شود (صفحه‌های ۱۲۰، ۱۲۴، ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۱

دو الگو ممکن است. در الگوی حرف، رقم، حرف، رقم، حرف، سه حرف به $3\times2\times1$ روش و دو رقم به $4\times3$ روش چیده می‌شوند؛ پس $3\times2\times1\times4\times3=72$ رمز داریم. در الگوی رقم، حرف، رقم، حرف، رقم، سه رقم به $4\times3\times2$ روش و دو حرف به $3\times2$ روش انتخاب و مرتب می‌شوند؛ پس $4\times3\times2\times3\times2=144$ رمز داریم. طبق اصل جمع، تعداد کل $72+144=216$ است (صفحه‌های ۱۲۱، ۱۲۲، ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۴

کارت‌های قرمز و آبی را یک بلوک می‌گیریم. همراه با چهار کارت دیگر، پنج شیء متمایز داریم و داخل بلوک نیز دو ترتیب ممکن است؛ بنابراین تعداد چیدمان‌های دارای مجاورت این دو کارت $2\times5!=240$ است. اگر سبز در یکی از دو سر ردیف باشد، برای انتخاب سر ردیف دو حالت، برای چیدن چهار شیء باقی‌مانده $4!$ حالت و برای ترتیب داخلی بلوک دو حالت داریم؛ پس تعداد حالت‌های نامجاز $2\times4!\times2=96$ است. با حذف آن‌ها، $240-96=144$ چیدمان باقی می‌ماند (صفحه‌های ۱۲۴، ۱۲۸ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۲

چون جایگاه‌ها مشخص‌اند، ترتیب قرارگیری نمادها اهمیت دارد. همچنین با استفاده از هر نماد، تعداد نمادهای در دسترس برای جایگاه بعدی یک واحد کم می‌شود. بنابراین تعداد آرایش‌ها برابر است با $7\times6\times5\times4=\mathrm{P}(7,4)=\dfrac{7!}{(7-4)!}=\dfrac{7!}{3!}$. این همان شمارش انتخاب‌های مرتب و بدون تکرار است (صفحهٔ ۱۲۹). پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر سؤال بی‌پاسخ از نوع چهارگزینه‌ای باشد، برای انتخاب آن سه راه داریم و چهار سؤال باقی‌مانده به $4^2\times2^2$ روش پاسخ داده می‌شوند؛ پس این حالت $3\times4^2\times2^2=192$ پاسخ‌نامه دارد. اگر سؤال بی‌پاسخ از نوع بله ـ خیر باشد، تعداد پاسخ‌نامه‌ها $2\times4^3\times2=256$ است. چون این دو حالت اشتراک ندارند، مطابق اصل جمع تعداد کل برابر است با $192+256=448$ (صفحه‌های ۱۲۰، ۱۲۱ و ۱۲۶). پاسخ: گزینهٔ ۲

چون رقم هزارگان دو برابر رقم دهگان است و هزارگان نمی‌تواند صفر باشد، زوج‌های ممکنِ هزارگان و دهگان عبارت‌اند از $(2,1)$، $(4,2)$ و $(6,3)$. در حالت $(2,1)$، یکان می‌تواند یکی از ارقام $0,4,6$ باشد و سپس برای صدگان سه انتخاب باقی می‌ماند؛ پس $3\times3=9$ عدد داریم. در حالت $(4,2)$، یکان از میان $0,6$ انتخاب می‌شود و تعداد اعداد $2\times3=6$ است. در حالت $(6,3)$، یکان از میان $0,2,4$ انتخاب می‌شود و $3\times3=9$ عدد داریم. صفر بودن صدگان مانعی ندارد. با استفاده از اصل جمع، تعداد کل برابر است با $9+6+9=24$. این تفکیک، محدودیت رقم آغازین، زوج بودن و ممنوعیت تکرار را هم‌زمان رعایت می‌کند (صفحه‌های ۱۲۳ و ۱۲۴). پاسخ: گزینهٔ ۳

تعداد مسیرهای عبوری از $B$ برابر $2\times3=6$ و تعداد مسیرهای عبوری از $C$ برابر $2\times2=4$ است. اگر شهر میانیِ رفت و برگشت متفاوت باشد، $6\times4+4\times6=48$ برنامه داریم. اگر هر دو مسیر از $B$ بگذرند، پس از انتخاب مسیر رفت، برای بازگشت در بخش $D$ تا $B$ دو جاده و در بخش $B$ تا $A$ یک جادهٔ استفاده‌نشده باقی می‌ماند؛ پس $6\times2\times1=12$ برنامه داریم. اگر هر دو مسیر از $C$ بگذرند، تعداد برنامه‌ها $4\times1\times1=4$ است. اگر یکی از مسیرهای رفت یا برگشت مستقیم باشد، مسیر دیگر باید از $B$ یا $C$ بگذرد؛ بنابراین $2\times(6+4)=20$ برنامه داریم. استفاده از مسیر مستقیم در هر دو جهت ممنوع است. در نتیجه تعداد کل برابر است با $48+12+4+20=84$. شمارش مرحله‌ای و جمع حالت‌های مجزا بر اصل ضرب و اصل جمع تکیه دارد (صفحه‌های ۱۲۰، ۱۲۱ و ۱۲۴). پاسخ: گزینهٔ ۴