سوال ۱۳۴ · ریاضی
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۳۴ · کلید رسمی سازمان سنجش
ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۶: شمارش، بدون شمردن
با ارقام ۰، ۲، ۳، ۵، ۷، ۸، ۹ چند عدد سه‌رقمی می‌توان نوشت که هر رقم از رقم قبل از خود (سمت چپ) کوچک‌تر باشد؟
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی
پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)
پاسخ تشریحی
۱. شرط سؤال را به زبان جایگاه‌ها می‌نویسیم:
پس هر سه رقم باید متمایز باشند.
۲. هر سه رقم متمایزی که انتخاب کنیم، دقیقاً یک چینش نزولی دارند. برای مثال، از انتخاب ارقام ، و فقط عدد شرط سؤال را دارد. بنابراین به‌جای شمارش جایگشت‌ها، باید تعداد انتخاب‌های سه‌عضوی را بشماریم؛ این همان تفاوت انتخاب و ترتیب در فعالیت درس ترکیب است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۳).
۳. وجود صفر هیچ انتخابی را نامعتبر نمی‌کند؛ اگر صفر انتخاب شده باشد، چون کوچک‌ترین رقم است، در یکان قرار می‌گیرد، نه صدگان. پس ممنوعیت صفر در صدگان، که در مثال عددهای سه‌رقمی کتاب مطرح شده، خودبه‌خود رعایت می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).
۴. در نتیجه، از هفت رقم داده‌شده سه رقم انتخاب می‌کنیم و برای هر انتخاب دقیقاً یک عدد مجاز داریم:
پاسخ: گزینهٔ ۴
چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند
- گزینهٔ ۱: اگر صفر را کاملاً از مجموعهٔ ارقام حذف کنید، به می‌رسید. این کار نادرست است؛ صفر می‌تواند در جایگاه یکان باشد و عدد همچنان سه‌رقمی بماند.
- گزینهٔ ۲: ممکن است حالت‌های بدون صفر را درست بشمارید، اما فقط حالتِ دارای صفر را به آن اضافه کنید و به برسید. در واقع، با انتخاب هر دو رقم از شش رقم غیرصفر، یک عدد مجازِ پایان‌یافته به صفر ساخته می‌شود؛ پس این بخش حالت دارد.
- گزینهٔ ۳: این مقدار می‌تواند حاصل جاافتادن چند حالت در فهرست‌کردن دستی باشد. انتخاب سه رقم و مرتب‌کردن نزولی آن‌ها هیچ حالت نامعتبری ایجاد نمی‌کند؛ بنابراین کم‌کردن حالت از شمار ترکیب‌ها و رسیدن به توجیهی ندارد.
راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)
- فعالیت درس «ترکیب» را به یاد بیاورید: انتخاب چند رقم با چیدن آن‌ها چه تفاوتی دارد؟ شرط نزولی‌بودن چه اثری بر تعداد چینش‌های هر انتخاب دارد؟
- رقم‌ها نمی‌توانند تکراری باشند. پس از انتخاب سه رقم متمایز، فقط یک ترتیب شرط سؤال را برقرار می‌کند؛ همچنین بررسی کنید که آیا انتخاب صفر مشکلی برای سه‌رقمی‌بودن ایجاد می‌کند.
- میان انتخاب هر زیرمجموعهٔ سه‌عضوی از هفت رقم و ساختن یک عدد مجاز، تناظر یک‌به‌یک وجود دارد. بنابراین کافی است تعداد این زیرمجموعه‌ها را با فرمول ترکیب حساب کنید.