سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۹ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۹ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۲۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۶: شمارش، بدون شمردن

گل‌فروشی از ۸ نوع گل مختلف، به چند طریق، می‌تواند دسته گل‌های متمایز درست کند، به‌طوری‌که در هر دسته ۴ یا ۵ یا ۶ شاخه مختلف، موجود باشد؟

گزینهٔ ۱: ۱۲۶
گزینهٔ ۲: ۱۴۰
گزینهٔ ۳: ۱۵۴
گزینهٔ ۴: ۱۶۸

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص نوع شمارش
در هر دسته، شاخه‌ها از نوع‌های متفاوت‌اند؛ پس از هر نوع گل حداکثر یک شاخه انتخاب می‌شود. همچنین ترتیب قرار گرفتن گل‌ها ملاک تمایز دسته‌ها نیست؛ بنابراین از «ترکیب» استفاده می‌کنیم. تمرین گل‌فروشی در درس ترکیب نیز بر همین انتخاب نوع گل‌ها استوار است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۹).

گام دوم: شمارش هر حالت
تعداد راه‌های انتخاب $r$ نوع گل از میان $8$ نوع برابر است با:
$\binom{8}{r}=\frac{8!}{r!(8-r)!}$
پس برای دسته‌های چهارشاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{4}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$
برای دسته‌های پنج‌شاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$
و برای دسته‌های شش‌شاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$

گام سوم: استفاده از اصل جمع
این سه حالت جدا از هم‌اند؛ یک دسته نمی‌تواند هم‌زمان تعداد شاخه‌های متفاوتی داشته باشد. بنابراین، طبق اصل جمع، تعداد کل دسته‌ها برابر مجموع تعداد حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۲۱–۱۲۲):
$\binom{8}{4}+\binom{8}{5}+\binom{8}{6}=70+56+28=154$

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: عدد $126$ از جمع $70+56$ به دست می‌آید؛ ممکن است فقط دسته‌های چهارشاخه‌ای و پنج‌شاخه‌ای را شمرده باشید. دسته‌های شش‌شاخه‌ای نیز مجازند و نباید حذف شوند.
گزینهٔ ۲: ممکن است تعداد دسته‌های پنج‌شاخه‌ای و شش‌شاخه‌ای را برابر فرض کنید و به $70+2\times35=140$ برسید. این دو تعداد برابر نیستند؛ باید هر کدام را با ترکیب مربوط به خودش محاسبه کرد.
گزینهٔ ۴: عدد $168=3\times56$ ممکن است از این تصور به دست آید که هر سه اندازهٔ مجاز، به‌اندازهٔ دسته‌های پنج‌شاخه‌ای حالت دارند. تعداد انتخاب‌ها به تعداد شاخه‌ها وابسته است و باید برای هر اندازه جداگانه محاسبه شود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

به مفهوم «ترکیب» در درس سوم فصل شمارش فکر کنید: آیا جابه‌جا کردن گل‌های یک دسته، دستهٔ تازه‌ای می‌سازد؟
برای هر تعداد شاخهٔ مجاز، باید تعدادی نوع گل را از میان هشت نوع، بدون تکرار و بدون توجه به ترتیب انتخاب کنید. تعداد حالت‌های جدا از هم را با اصل جمع ترکیب کنید.
سه عبارت $\binom{8}{4}$ ، $\binom{8}{5}$ و $\binom{8}{6}$ را محاسبه و سپس جمع کنید؛ برای ساده‌تر شدن محاسبه می‌توانید از $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ استفاده کنید.

فصل «شمارش، بدون شمردن» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.