سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. شرط بخش‌پذیری را اعمال می‌کنیم.

عدد مضربِ $6$ باید هم بر $2$ و هم بر $3$ بخش‌پذیر باشد. چون تنها ارقام مجاز $1$ و $2$ هستند، برای زوج‌بودن، رقم یکان حتماً باید $2$ باشد. ابتدا پرکردن جایگاه یکان برای ساختن عدد زوج، همان روشی است که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).

۲. تعداد رقم‌های $2$ را در جایگاه‌های باقی‌مانده مشخص می‌کنیم.

پس از ثابت‌کردن یکان، ده جایگاه باقی می‌ماند. فرض کنیم $k$ جایگاه از آن‌ها با رقمِ $2$ و بقیه با رقمِ $1$ پر شوند. مجموع ارقام عدد برابر است با:

$S=2+2k+(10-k)=12+k$

برای بخش‌پذیری عدد بر $3$، مجموع ارقام باید مضربِ $3$ باشد. بنابراین با توجه به $0\leq k\leq10$، داریم:

$k\in\{0،3،6،9\}$

۳. تعداد اعداد هر حالت را می‌شماریم.

با انتخاب جایگاه‌های رقمِ $2$، بقیهٔ جایگاه‌ها خودبه‌خود با رقمِ $1$ پر می‌شوند؛ پس هر انتخاب دقیقاً یک عدد می‌سازد. تعداد انتخاب $k$ جایگاه از ده جایگاه را با $\binom{10}{k}$ نشان می‌دهیم. در نتیجه:

$k=0:\quad \binom{10}{0}=1$

$k=3:\quad \binom{10}{3}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$

$k=6:\quad \binom{10}{6}=\binom{10}{4}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2\times1}=210$

$k=9:\quad \binom{10}{9}=10$

برای نمونه، در انتخاب سه جایگاه، حاصل‌ضربِ صورت، انتخاب‌های ترتیب‌دار را می‌شمارد؛ تقسیم بر $3\times2\times1$ تکرار ناشی از ترتیب انتخاب همان سه جایگاه را حذف می‌کند.

۴. حالت‌ها را با اصل جمع ترکیب می‌کنیم.

این چهار حالت اشتراکی ندارند؛ بنابراین مطابق اصل جمع، تعدادشان را جمع می‌کنیم؛ همان‌طور که کتاب در شمارش حالت‌های جداگانهٔ اعداد زوج عمل می‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴):

$N=1+120+210+10=341$

پاسخ: گزینهٔ ۳