سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا دو پیشامد را از هم جدا می‌کنیم:

ـ پیشامد $A$: ظهور «رو» برای بار $k$ام، دقیقاً در پرتاب $n$ام رخ دهد.

ـ پیشامد $B$: در $n$ پرتاب، دقیقاً $k$ بار «رو» ظاهر شود، بدون اینکه جایگاه آخرین «رو» مشخص باشد.

طبق تعریف احتمال در حالت‌های هم‌شانس، احتمال هر پیشامد برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷). با فرض معمول سکهٔ سالم و پرتاب‌های مستقل، در $n$ پرتاب، $2^n$ دنبالهٔ هم‌شانس داریم.

گام اول: احتمال پایان‌یافتن آزمایش در پرتاب $n$ام

برای رخ‌دادن $A$، پرتاب آخر حتماً باید «رو» باشد؛ همچنین در $n-1$ پرتاب نخست باید دقیقاً $k-1$ بار «رو» آمده باشد. بنابراین با انتخاب جایگاه این «رو»ها داریم:

$P(A)=\frac{\binom{n-1}{k-1}}{2^n}$

گام دوم: احتمال آمدن دقیقاً $k$ بار «رو» در $n$ پرتاب

برای رخ‌دادن $B$، کافی است جایگاه $k$ بار «رو» را از میان $n$ جایگاه انتخاب کنیم؛ پس:

$P(B)=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$

گام سوم: استفاده از نسبت داده‌شده

از صورت سؤال داریم:

$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{k}{k+5}$

از طرف دیگر، با ساده‌کردن ترکیب‌ها:

$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{k}{n}$

بنابراین:

$\frac{k}{n}=\frac{k}{k+5}$

چون $k$ صحیح و مثبت است، می‌توان آن را حذف کرد و نتیجه گرفت:

$n=k+5\quad\Longrightarrow\quad n+k=2k+5$

گام چهارم: بررسی مقدارهای پیشنهادی

مجموع $n+k$ باید فرد باشد؛ بنابراین مقدارهای $12$ و $8$ ممکن نیستند. مقدار $5$ نیز به $k=0$ منجر می‌شود و پذیرفتنی نیست. اما برای مقدار $9$ داریم:

$2k+5=9\quad\Longrightarrow\quad k=2,\qquad n=7$

این دو مقدار صحیح و مثبت‌اند و شرط مسئله را برقرار می‌کنند؛ پس مجموع آن‌ها می‌تواند $9$ باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۲