سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

منظور عبارت سؤال این است که اعداد ظاهرشده «نه متوالی باشند و نه برابر».

گام اول: تشکیل فضای نمونه‌ای
نتیجهٔ پرتاب دو تاس را به‌صورت زوج مرتب $(a,b)$ می‌نویسیم؛ بنابراین مثلاً $(1,2)$ و $(2,1)$ دو حالت متفاوت‌اند. مطابق جدول پرتاب دو تاس در کتاب، تعداد کل حالت‌های هم‌شانس برابر است با:
$n(S)=6\times6=36$
(ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۲–۱۴۳)

گام دوم: شمارش حالت‌های نامطلوب
پیشامد برابر بودن دو عدد را $B$ می‌نامیم:
$B=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$
پس $n(B)=6$.

پیشامد متوالی بودن دو عدد را $C$ می‌نامیم. جفت‌های متوالی بدون توجه به ترتیب عبارت‌اند از:
$(1,2)، (2,3)، (3,4)، (4,5)، (5,6)$
هر جفت با دو ترتیب روی تاس‌ها ظاهر می‌شود؛ بنابراین:
$n(C)=5\times2=10$

دو عدد نمی‌توانند هم برابر و هم متوالی باشند؛ پس $B\cap C=\varnothing$ و تعداد حالت‌های نامطلوب برابر است با:
$n(B\cup C)=6+10=16$

گام سوم: استفاده از متمم و محاسبهٔ احتمال
پیشامد مطلوب، متممِ «برابر یا متوالی بودن» است. استفاده از متمم برای ساده‌تر شدن شمارش، در مثال پرتاب دو تاس کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). بنابراین:
$n(A)=36-16=20$
طبق تعریف احتمال در فضای نمونه‌ای هم‌شانس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$

پاسخ: گزینهٔ ۲