سوال ۱۵۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

با صورت فعلی سؤال، پاسخ تأییدشده با محاسبه سازگار نیست و هیچ‌یک از گزینه‌ها درست نیست. برای روشن‌شدن موضوع، مجموعه را شامل تمام اعداد طبیعی قابل ساخت با رقم‌های داده‌شده و بدون تکرار رقم در نظر می‌گیریم.

گام اول ـ شمارش کل حالت‌ها:
طبق تعریف احتمال برای حالت‌های هم‌شانس، داریم $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷). اعداد مجاز می‌توانند یک‌رقمی تا پنج‌رقمی باشند؛ بنابراین با اصل ضرب:
$n(S)=5+5\times4+5\times4\times3+5\times4\times3\times2+5\times4\times3\times2\times1=325$.

گام دوم ـ شمارش اعداد بخش‌پذیر بر $4$:
در میان اعداد یک‌رقمی، فقط $4$ مطلوب است. در اعداد دست‌کم دورقمی، عدد هنگامی بر $4$ بخش‌پذیر است که عدد تشکیل‌شده از دو رقم آخر آن بر $4$ بخش‌پذیر باشد. با رقم‌های داده‌شده و بدون تکرار، پایان‌های مجاز عبارت‌اند از:
$12,\ 24,\ 32,\ 52$.
برای هر پایان، سه رقم استفاده‌نشده باقی می‌ماند. تعداد پیشوندهای ممکن با طول صفر، یک، دو و سه، به‌ترتیب برابر است با:
$1,\ 3,\ 3\times2,\ 3\times2\times1$.
پس برای هر پایان، تعداد اعداد مجاز برابر است با:
$1+3+6+6=16$.
در نتیجه، با افزودن حالت یک‌رقمی داریم:
$n(A)=1+4\times16=65$.

گام سوم ـ محاسبهٔ احتمال:
$P(A)=\frac{65}{325}=\frac{1}{5}$.

بنابراین مقدار $\frac{13}{21}$، یعنی گزینهٔ اعلام‌شده به‌عنوان پاسخ تأییدشده، از صورت فعلی سؤال به دست نمی‌آید. همچنین اگر منظور از «زیرمجموعه‌ای» واقعاً یک زیرمجموعهٔ دلخواه باشد، بدون مشخص‌کردن اعضای آن نمی‌توان احتمال یکتایی تعیین کرد؛ محاسبهٔ بالا بر مبنای برداشت متعارفِ «تمام اعداد قابل ساخت» است.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ با برداشت متعارف از صورت سؤال، احتمال برابر $\frac{1}{5}$ است.