سوال ۱۵۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

در نام‌گذاری مستطیل $ABCD$، رأس‌های $A$ و $C$ مقابل یکدیگرند؛ پس برای یافتن محیط باید طول ضلع‌های مجاور $AB$ و $BC$ را به دست آوریم.

گام اول: معادلهٔ خط حامل ضلع $AB$
با استفاده از نقطهٔ $A(2,4)$ و شیب $3$، معادلهٔ خط را می‌نویسیم؛ این روش بر مبنای معادلهٔ خط و مفهوم شیب است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۲ و ۳):
$y-4=3(x-2)\quad\Rightarrow\quad y=3x-2$.

گام دوم: معادلهٔ خط حامل ضلع $BC$
در مستطیل، $AB\perp BC$ است. حاصل‌ضرب شیب‌های دو خط عمود برابر $-1$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳)، بنابراین:
$m_{BC}=-\frac{1}{3}$.
این خط از $C(-3,-1)$ می‌گذرد، پس:
$y+1=-\frac{1}{3}(x+3)\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{x}{3}-2$.

گام سوم: یافتن رأس $B$
رأس $B$ محل تقاطع دو خط است:
$3x-2=-\frac{x}{3}-2\quad\Rightarrow\quad \frac{10x}{3}=0\quad\Rightarrow\quad x=0$.
با جای‌گذاری در معادلهٔ خط اول، $y=-2$ به دست می‌آید؛ در نتیجه:
$B(0,-2)$.

گام چهارم: محاسبهٔ طول ضلع‌ها و محیط
با فرمول فاصلهٔ دو نقطه، که در محاسبهٔ طول پاره‌خط در ریاضی ۲، صفحهٔ ۸، به کار رفته است، داریم:
$AB=\sqrt{(2-0)^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$،
$BC=\sqrt{(-3-0)^2+(-1-(-2))^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$.
پس محیط مستطیل برابر است با:
$P=2(AB+BC)=2(2\sqrt{10}+\sqrt{10})=6\sqrt{10}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳