سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

• گزینهٔ ۱: ممکن است پس از یافتن $a=2$، به‌اشتباه $\log_2 2$ را حساب کنید. پایهٔ خواسته‌شده $\sqrt{2}$ است، نه $2$.
• گزینهٔ ۳: اگر حاصل‌ضرب ریشه‌های جدید را به‌اشتباه $(\alpha\beta)^4$ بگیرید، به $a=\sqrt{8}$ و این گزینه می‌رسید. در ضرب درست، توان هر یک از $\alpha$ و $\beta$ برابر $3$ است.
• گزینهٔ ۴: اگر مجموع ریشه‌های معادلهٔ اولیه را به‌اشتباه $\frac{4}{a}$ بنویسید، محاسبات به $a=4$ و این گزینه می‌انجامد. مجموع ریشه‌ها از ضریب جملهٔ خطی به دست می‌آید و برابر $\frac{8}{a}$ است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

1. رابطهٔ مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم با ضرایب آن را از ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳ به یاد بیاورید؛ نیازی به محاسبهٔ خود ریشه‌ها نیست.
2. اگر $S=\alpha+\beta$ و $P=\alpha\beta$ باشد، مجموع ریشه‌های جدید با فاکتورگیری برابر $PS$ و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر $P^3$ می‌شود.
3. چون $P\ne0$، شرط برابری به $S=P^2$ تبدیل می‌شود. با جای‌گذاری ضرایب به $\frac{8}{a}=\frac{16}{a^2}$ می‌رسید؛ پس از یافتن $a$، برای محاسبهٔ لگاریتم آن را توانی از $\sqrt{2}$ بنویسید.