سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: نوشتن رابطه‌های ریشه‌ها

چون نمودار داده‌شده سهمی است، ضریب $x^2$ صفر نیست؛ پس $\alpha\ne0$. مطابق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها در کتاب داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳):

$\alpha+\beta=-\frac{4}{25\alpha},\qquad \alpha\beta=\frac{\beta}{25\alpha}$.

گام دوم: بررسی صفرنبودن $\beta$

اگر $\beta=0$ باشد، از رابطهٔ مجموع به دست می‌آید:

$\alpha=-\frac{4}{25\alpha}\quad\Rightarrow\quad25\alpha^2=-4$.

این تساوی برای عدد حقیقی ممکن نیست؛ بنابراین $\beta\ne0$. اکنون از رابطهٔ حاصل‌ضرب داریم:

$25\alpha^2\beta=\beta\quad\Rightarrow\quad25\alpha^2=1\quad\Rightarrow\quad\alpha=\pm\frac15$.

گام سوم: استفاده از ترتیب ریشه‌ها

اگر $\alpha>0$ باشد، با توجه به $\beta>\alpha$، هر دو ریشه مثبت و در نتیجه مجموع آن‌ها مثبت خواهد بود؛ اما رابطهٔ $\alpha+\beta=-\frac{4}{25\alpha}$ مجموع را منفی می‌دهد. پس این حالت پذیرفتنی نیست و داریم:

$\alpha=-\frac15$.

با جای‌گذاری در رابطهٔ مجموع:

$-\frac15+\beta=\frac45\quad\Rightarrow\quad\beta=1$.

بنابراین معادلهٔ سهمی برابر است با:

$y=-5x^2+4x+1$.

گام چهارم: تعیین مختصات رأس

طول رأس سهمی از رابطهٔ $x_R=-\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴). پس:

$x_R=-\frac{4}{2(-5)}=\frac25$.

با جای‌گذاری طول رأس در ضابطهٔ تابع:

$y_R=-5\left(\frac25\right)^2+4\left(\frac25\right)+1=\frac95$.

هر دو مختصهٔ رأس مثبت‌اند؛ بنابراین رأس سهمی در ناحیهٔ اول قرار دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱