سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: رأس‌های مثلث را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف کتاب، صفرهای تابع نقاط برخورد نمودار با محور افقی‌اند و عرض از مبدأ نیز از مقدار تابع در $x=0$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۵–۱۶). برای تابع اول داریم:
$2x^2-(m+2)x+m=(x-1)(2x-m)$
پس رأس‌های مثلث عبارت‌اند از:
$A=(1,0),\qquad B=(\frac{m}{2},0),\qquad C=(0,m)$.

گام دوم: مساحت مثلث را برحسب پارامتر می‌نویسیم.
ضلع $AB$ روی محور افقی است؛ بنابراین طول قاعده و ارتفاع متناظر آن برابرند با:
$AB=\left|1-\frac{m}{2}\right|=\frac{|m-2|}{2},\qquad h=|m|$.
توجه کنید که حتی اگر نقطهٔ $C$ پایین محور افقی باشد، ارتفاع مثلث مثبت است. با استفاده از رابطهٔ مساحت مثلث، که در ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴ نیز به آن اشاره شده است، داریم:
$S=\frac{1}{2}\times AB\times h=\frac{|m(m-2)|}{4}$.
اکنون شرط سؤال را اعمال می‌کنیم:
$\frac{|m(m-2)|}{4}=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad |m(m-2)|=3$.

گام سوم: حالت‌های قدرمطلق را حل می‌کنیم.
حالت اول:
$m(m-2)=3\quad\Rightarrow\quad m^2-2m-3=0\quad\Rightarrow\quad (m-3)(m+1)=0$.
بنابراین $m=3$ یا $m=-1$.
حالت دوم:
$m(m-2)=-3\quad\Rightarrow\quad m^2-2m+3=0$.
این معادله جواب حقیقی ندارد؛ زیرا $m^2-2m+3=(m-1)^2+2>0$. پس تنها مقادیر مجاز همان $m=3$ و $m=-1$ هستند.

گام چهارم: طول رأس سهمی دوم را به دست می‌آوریم.
طول رأس سهمی $y=ax^2+bx+c$ برابر $x_v=-\frac{b}{2a}$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴). در سهمی $y=x^2-mx+1$ داریم:
$x_v=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}$.
پس طول رأس می‌تواند $\frac{3}{2}$ یا $-\frac{1}{2}$ باشد. از میان گزینه‌های داده‌شده، فقط $-\frac{1}{2}$ وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴