دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۱: هندسۀ تحلیلی و جبر

اگر α\alpha و β\beta ریشه‌های معادله x2+x−1−m2=0x^2+x-1-m^2=0 باشد، کمترین مقدار ممکن برای α2+β2\alpha^2+\beta^2 کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۱
  2. گزینهٔ ۲: ۳
  3. گزینهٔ ۳: ۵
  4. گزینهٔ ۴: ۷
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول ـ مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را پیدا می‌کنیم. طبق رابطه‌های کتاب، برای معادلهٔ ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 داریم α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a} و αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a} (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین در معادلهٔ داده‌شده:
α+β=−1\alpha+\beta=-1، αβ=−1−m2\alpha\beta=-1-m^2.

گام دوم ـ مجموع مربع‌ها را با استفاده از اتحاد مربع مجموع می‌نویسیم:
α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta.
با جای‌گذاری داریم:
α2+β2=(−1)2−2(−1−m2)=3+2m2\alpha^2+\beta^2=(-1)^2-2(-1-m^2)=3+2m^2.

گام سوم ـ کمترین مقدار را تعیین می‌کنیم. چون برای هر عدد حقیقی mm، داریم m2≥0m^2\geq0، پس:
3+2m2≥33+2m^2\geq3.
این تساوی در m=0m=0 برقرار می‌شود. این انتخاب مجاز است؛ زیرا در این حالت معادلهٔ x2+x−1=0x^2+x-1=0 دارای Δ=5>0\Delta=5>0 و در نتیجه دو ریشهٔ حقیقی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱–۱۲).

پس کمترین مقدار ممکن برای مجموع مربع ریشه‌ها برابر 33 است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است مجموع مربع‌ها را با مربع مجموع اشتباه بگیرید و فقط (α+β)2=1(\alpha+\beta)^2=1 را حساب کنید؛ درحالی‌که باید جملهٔ −2αβ-2\alpha\beta را نیز در نظر گرفت.
  • گزینهٔ ۳: با انتخاب m=±1m=\pm1، مقدار عبارت برابر 55 می‌شود؛ اما این فقط یک مقدار ممکن است، نه کمترین مقدار، زیرا m=0m=0 نیز مجاز است.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است با انتخاب m2=2m^2=2 به مقدار 77 برسید و آن را کمینه بدانید؛ ولی هیچ شرطی نداریم که m2m^2 را از صفر بزرگ‌تر نگه دارد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم را از درس دوم فصل اول ریاضی ۲ به یاد بیاورید؛ نیازی به محاسبهٔ خود ریشه‌ها نیست.
  2. ابتدا α+β\alpha+\beta و αβ\alpha\beta را از ضرایب پیدا کنید؛ دقت کنید جملهٔ ثابت معادله، −1−m2-1-m^2 است. سپس از اتحاد α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta استفاده کنید.
  3. پس از ساده‌سازی، عبارت به شکل یک عدد ثابت به‌علاوهٔ ضریبی مثبت از m2m^2 درمی‌آید. برای یافتن کمینه، کوچک‌ترین مقدار ممکنِ مربع یک عدد حقیقی را در نظر بگیرید.

ریاضی ۲ · فصل ۱: هندسۀ تحلیلی و جبر

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «هندسۀ تحلیلی و جبر» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری