سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۱۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمودار تابع g محور xها را در نقاطی به طول ۱ و $2\sqrt{2}$ قطع می‌کند. اگر $f(x)=x\sqrt{x}$ باشد، اختلاف طول نقاطی که نمودار تابع $g\circ f$ محور xها را قطع می‌کند، کدام است؟

گزینهٔ ۱: ۱
گزینهٔ ۲: $\frac{1}{2}$
گزینهٔ ۳: $\sqrt{2}$
گزینهٔ ۴: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. طول نقاط برخورد نمودار با محور $x$ ها، ریشه‌های تابع هستند؛ بنابراین طبق دادهٔ سؤال داریم:
$g(1)=0,\qquad g(2\sqrt{2})=0$ .

۲. طبق تعریف ترکیب توابع، $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ و ورودی تابع درونی باید در دامنهٔ آن باشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). در اینجا $f(x)=x\sqrt{x}$ است؛ پس $x\geq 0$ . برای صفر شدن تابع مرکب، خروجی $f$ باید یکی از ریشه‌های $g$ باشد:
$g(f(x))=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=1\ \text{یا}\ f(x)=2\sqrt{2}$ .

۳. معادلهٔ اول را حل می‌کنیم:
$x\sqrt{x}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1$ .

برای معادلهٔ دوم نیز داریم:
$x\sqrt{x}=2\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=2^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad x=2$ .
هر دو جواب نامنفی‌اند و خروجی تابع $f$ در آن‌ها، ورودیِ مجاز تابع $g$ است؛ پس هر دو در دامنهٔ تابع مرکب قرار دارند.

۴. بنابراین طول نقاط برخورد نمودار تابع مرکب با محور $x$ ها برابر $1$ و $2$ است و اختلاف آن‌ها می‌شود:
$2-1=1$ .

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است دانش‌آموز هنگام برگرداندن رابطهٔ تابع، به‌اشتباه توان منفی به کار ببرد و طول دوم را $\frac{1}{2}$ به دست آورد. اما حل درست معادلهٔ $x^{3/2}=2\sqrt{2}$ ، طول دوم را $2$ می‌دهد.
گزینهٔ ۳: ممکن است دانش‌آموز عامل $\sqrt{2}$ در ریشهٔ دوم تابع $g$ را با اختلاف طول‌های خواسته‌شده اشتباه بگیرد. ریشه‌های تابع مرکب باید از حل معادله‌های $f(x)=1$ و $f(x)=2\sqrt{2}$ به دست آیند، نه از جدا کردن عامل رادیکالی.
گزینهٔ ۴: این انتخاب می‌تواند ناشی از اشتباه در معکوس کردن توان و ساده‌سازی رادیکال‌ها باشد. برای حل رابطهٔ $x^{3/2}=a$ در دامنهٔ نامنفی، باید از $x=a^{2/3}$ استفاده کرد؛ نه معکوسِ عامل رادیکالیِ $a$ .

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف تابع مرکب و شرط صفر شدن آن را به یاد بیاورید: ابتدا تابع درونی محاسبه می‌شود و خروجی آن، ورودی تابع بیرونی است.
برای صفر شدن $g(f(x))$ ، مقدار $f(x)$ باید یکی از ریشه‌های داده‌شدهٔ $g$ باشد. پس دو معادله برای $x\sqrt{x}$ بنویسید و شرط $x\geq 0$ را در نظر بگیرید.
از رابطهٔ $x\sqrt{x}=x^{3/2}$ استفاده کنید و دو طرف هر معادله را به توان $\frac{2}{3}$ برسانید؛ برای ساده‌سازی معادلهٔ دوم، $2\sqrt{2}=2^{3/2}$ را به کار ببرید. سپس طول کوچک‌تر را از طول بزرگ‌تر کم کنید.

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.