سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

منظور متعارف سؤال، یافتن «بزرگ‌ترین بازهٔ باز» است که تابع در آن اکیداً نزولی باشد؛ وگرنه با انتخاب زیربازه‌های مختلف، مجموع دو سر بازه یکتا نخواهد بود.

گام اول ـ باز کردن قدرمطلق:
با توجه به علامت ورودی داریم:
$f(x)=(x-1)|x|=\begin{cases}-x^2+x & x<0,\\ x^2-x & x\geq 0.\end{cases}$

طبق تعریف کتاب، برای اکیداً نزولی بودن باید با افزایش ورودی، مقدار تابع همواره کاهش یابد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷ تا ۹).

گام دوم ـ بررسی شاخهٔ منفی:
در ناحیهٔ $x<0$، با افزایش $x$، هم $-x^2$ و هم $x$ افزایش می‌یابند؛ بنابراین مجموع آن‌ها، یعنی $-x^2+x$، اکیداً صعودی است. پس بازهٔ نزولی نمی‌تواند به سمت ورودی‌های منفی امتداد پیدا کند.

گام سوم ـ بررسی شاخهٔ نامنفی:
ضابطهٔ این شاخه را به صورت مربع کامل می‌نویسیم:
$f(x)=x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$.
پس طول رأس سهمی برابر $\frac{1}{2}$ است. از $x=0$ تا رأس، با افزایش ورودی، فاصلهٔ آن از طول رأس کم می‌شود و مقدار تابع اکیداً کاهش می‌یابد. پس از رأس، این فاصله و در نتیجه مقدار تابع اکیداً افزایش می‌یابد.

بنابراین بزرگ‌ترین بازهٔ بازِ اکیداً نزولی برابر است با:
$(a,b)=\left(0,\frac{1}{2}\right)$.
در نتیجه:
$a+b=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲