سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول ـ خواندن اطلاعات نمودار:
در محل تقاطع با محور عرض‌ها، ورودی صفر است و در محل تقاطع با محور طول‌ها، مقدار تابع صفر می‌شود. بنابراین از شکل داریم:
$f(0)=\frac{2}{3},\qquad f(1)=0$.
استفاده از مختصات نقاط نمودار برای تعیین مقدار تابع، در فعالیت‌های تابع نمایی نیز مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹۹ و صفحهٔ ۱۰۱).

گام دوم ـ ساده‌کردن ضابطه:
با قانون جمع توان‌ها می‌نویسیم:
$3^{a+bx}=3^a(3^b)^x$.
پس اگر $A=c3^a$ و $q=3^b$ بگذاریم، تابع به صورت زیر درمی‌آید:
$f(x)=1+Aq^x$.

گام سوم ـ استفاده از عرض از مبدأ:
با جایگذاری $x=0$ و توجه به $q^0=1$ داریم:
$1+A=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{3}$.
بنابراین:
$f(x)=1-\frac{1}{3}q^x$.

گام چهارم ـ استفاده از تقاطع با محور طول‌ها:
چون نمودار از نقطهٔ $(1,0)$ می‌گذرد:
$0=1-\frac{1}{3}q\quad\Rightarrow\quad q=3$.
در نتیجه ضابطهٔ تابع برابر است با:
$f(x)=1-\frac{1}{3}\times3^x$.

گام پنجم ـ محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده:
با استفاده از رابطهٔ توان منفی، یعنی $3^{-1}=\frac{1}{3}$، داریم:
$f(-1)=1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.
رابطهٔ توان منفی و پایهٔ معکوس، در بررسی توابع نمایی نیز به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳).

پاسخ: گزینهٔ ۲