سوال ۱۳۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: یکسان کردن مبناها
در صورت سؤال، $0/4$ نمایش اعشاریِ $0.4$ است؛ بنابراین:
$0.4=\frac{2}{5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$
همچنین:
$\frac{125}{8}=\left(\frac{5}{2}\right)^3$
پس با استفاده از قوانین توان، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$\left(\frac{5}{2}\right)^{1-2x}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3x^2}$

گام دوم: حل معادلهٔ حاصل
تابع نمایی با مبنای مثبت و مخالف یک، یک‌به‌یک است؛ پس توان‌های دو طرف برابرند:
$1-2x=3x^2$
$3x^2+2x-1=0$
$(3x-1)(x+1)=0$
بنابراین:
$x=\frac{1}{3}\quad\text{یا}\quad x=-1$

گام سوم: بررسی شرط تعریف لگاریتم
عدد داخل لگاریتم باید مثبت باشد؛ این شرط در تعریف لگاریتم و بررسی جواب‌های معادلات لگاریتمی ضروری است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۹–۱۱۱ و ۱۱۲):
$9x+1>0$
برای $x=-1$، عدد داخل لگاریتم برابر $-8$ می‌شود؛ بنابراین این ریشه برای عبارت خواسته‌شده قابل قبول نیست. برای $x=\frac{1}{3}$ داریم:
$9x+1=9\times\frac{1}{3}+1=4>0$

گام چهارم: محاسبهٔ مقدار لگاریتم
طبق تعریف، $\log_a b$ توانی است که باید به مبنای $a$ بدهیم تا $b$ حاصل شود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۹–۱۱۱). چون:
$8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4$
نتیجه می‌گیریم:
$\log_8(9x+1)=\log_8 4=\frac{2}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱