سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

برای تشخیص $U(x)$، دامنه، نقطهٔ عبور و نزولی بودن نمودار را بررسی می‌کنیم.

گام اول ـ شرط تعریف لگاریتم: عبارت داخل لگاریتم باید مثبت باشد؛ یعنی $U(x)>0$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹). نمودار داده‌شده در سمت راست مجانب $x=-1$ قرار دارد، پس دامنهٔ آن $x>-1$ است. برای دو عبارت $x+1$ و $(x+1)^{-1}$، شرط مثبت بودن دقیقاً $x>-1$ است؛ اما برای $x-1$ دامنهٔ لگاریتم $x>1$ و برای $1-x$ دامنهٔ آن $x<1$ می‌شود. بنابراین فقط دو عبارت نخست باقی می‌مانند.

گام دوم ـ بررسی عبور از مبدأ: با قرار دادن نقطهٔ $(0,0)$ در رابطهٔ تابع داریم $\log_2 U(0)=0$. طبق رابطهٔ وارون بودن توابع نمایی و لگاریتمی، نتیجه می‌شود $U(0)=2^0=1$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷). هر دو عبارت باقی‌مانده این شرط را دارند؛ پس عبور از مبدأ به‌تنهایی برای انتخاب کافی نیست.

گام سوم ـ استفاده از نزولی بودن: تابع $y=\log_2 x$ چون مبنایش بزرگ‌تر از یک است، صعودی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹). در نتیجه $y=\log_2(x+1)$ نیز صعودی است و با شکل سازگار نیست. در مقابل، عبارت $\frac{1}{x+1}$ در دامنهٔ $x>-1$ با افزایش $x$ کاهش می‌یابد؛ پس لگاریتم آن نیز نزولی است.

برای تأیید از دید نموداری نیز داریم $\log_2\!\left((x+1)^{-1}\right)=-\log_2(x+1)$. نمودار این تابع با انتقال نمودار $y=\log_2 x$ به اندازهٔ یک واحد به چپ و سپس قرینه‌سازی نسبت به محور افقی به دست می‌آید؛ بنابراین مجانب آن $x=-1$ است، از مبدأ می‌گذرد و نزولی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۵–۱۱۶).

پس $U(x)=(x+1)^{-1}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲