سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول ــ ساده‌کردن عامل داخل پرانتز:
با توجه به مقدار سینوس زاویهٔ معروف داریم:
$2\sin^2\frac{\pi}{4}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1$.
پس با استفاده از اتحاد اصلی مثلثاتی:
$2\sin^2\frac{\pi}{4}-\sin^2 x=1-\sin^2 x=\cos^2 x$.

گام دوم ــ ساده‌کردن رادیکال با توجه به قدرمطلق:
از تعریف تانژانت و اتحاد اصلی مثلثاتی نتیجه می‌شود:
$1+\tan^2 x=1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$.
بنابراین:
$\sqrt{1+\tan^2 x}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}=\frac{1}{|\cos x|}$.
نکتهٔ مهم این است که ریشهٔ دومِ مربع یک عبارت، برابر قدرمطلق آن است.

گام سوم ــ تعیین علامت و محاسبهٔ حاصل:
از شرط $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$ می‌فهمیم که انتهای کمان زاویه در ربع سوم است؛ در این ربع کسینوس منفی است. تعیین علامت نسبت‌ها با توجه به ربع زاویه، از نکات مورد استفاده در تمرین نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مختلف کتاب است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸). در نتیجه:
$\cos x<0\quad\Rightarrow\quad |\cos x|=-\cos x$.
اکنون عبارت سؤال برابر است با:
$\frac{\cos^2 x}{|\cos x|}=\frac{\cos^2 x}{-\cos x}=-\cos x$.
چون زاویه درون بازهٔ داده‌شده است، $\cos x\ne0$ و این ساده‌سازی مجاز است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: تعریف مجهول و تعیین سرعت‌ها
سرعت آب رودخانه را $x$ متر در دقیقه می‌گیریم. چون قایق می‌تواند خلاف جریان هم حرکت کند، باید $0<x<100$ باشد.
در جهت جریان، سرعت آب به سرعت قایق افزوده می‌شود؛ بنابراین سرعت قایق نسبت به ساحل $100+x$ است. در خلاف جهت جریان، سرعت آب از سرعت قایق کم می‌شود و سرعت نسبت به ساحل $100-x$ خواهد بود.

گام دوم: تشکیل معادلهٔ زمان‌ها
از رابطهٔ $t=\frac{d}{v}$ استفاده می‌کنیم. مسافت هر مسیر $1200$ متر است، پس زمان حرکت در جهت جریان و خلاف جهت جریان، بر حسب دقیقه، به‌ترتیب برابرند با:
$t_{\text{هم‌جهت}}=\frac{1200}{100+x}$
$t_{\text{خلاف‌جهت}}=\frac{1200}{100-x}$
زمان حرکت خلاف جریان بیشتر است. با توجه به اختلاف زمان داده‌شده داریم:
$\frac{1200}{100-x}-\frac{1200}{100+x}=5$
این روش، یعنی تعریف مجهول و تبدیل شرایط مسئله به معادلهٔ درجهٔ دوم، در مثال کاربردی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۶).

گام سوم: ساده‌کردن و حل معادله
با مخرج مشترک گرفتن:
$\frac{1200\big((100+x)-(100-x)\big)}{(100-x)(100+x)}=5$
پس:
$\frac{2400x}{10000-x^2}=5$
چون $0<x<100$، مخرج صفر نیست و می‌توانیم دو طرف را در آن ضرب کنیم:
$2400x=50000-5x^2$
با انتقال جمله‌ها و تقسیم بر $5$:
$x^2+480x-10000=0$
با تجزیه به دست می‌آید:
$(x-20)(x+500)=0$
بنابراین:
$x=20\quad\text{یا}\quad x=-500$
ریشهٔ منفی برای سرعت آب قابل قبول نیست؛ پس سرعت آب رودخانه $20$ متر در دقیقه است.

گام چهارم: بررسی جواب
در این حالت، سرعت قایق در جهت جریان $120$ متر در دقیقه و در خلاف جهت جریان $80$ متر در دقیقه است. زمان‌ها برابرند با:
$\frac{1200}{120}=10\quad\text{و}\quad\frac{1200}{80}=15$
اختلاف آن‌ها $15-10=5$ دقیقه است؛ پس جواب با دادهٔ مسئله سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تشخیص نوع شمارش
در هر دسته، شاخه‌ها از نوع‌های متفاوت‌اند؛ پس از هر نوع گل حداکثر یک شاخه انتخاب می‌شود. همچنین ترتیب قرار گرفتن گل‌ها ملاک تمایز دسته‌ها نیست؛ بنابراین از «ترکیب» استفاده می‌کنیم. تمرین گل‌فروشی در درس ترکیب نیز بر همین انتخاب نوع گل‌ها استوار است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۹).

گام دوم: شمارش هر حالت
تعداد راه‌های انتخاب $r$ نوع گل از میان $8$ نوع برابر است با:
$\binom{8}{r}=\frac{8!}{r!(8-r)!}$
پس برای دسته‌های چهارشاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{4}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70$
برای دسته‌های پنج‌شاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$
و برای دسته‌های شش‌شاخه‌ای داریم:
$\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$

گام سوم: استفاده از اصل جمع
این سه حالت جدا از هم‌اند؛ یک دسته نمی‌تواند هم‌زمان تعداد شاخه‌های متفاوتی داشته باشد. بنابراین، طبق اصل جمع، تعداد کل دسته‌ها برابر مجموع تعداد حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۲۱–۱۲۲):
$\binom{8}{4}+\binom{8}{5}+\binom{8}{6}=70+56+28=154$

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: معادلهٔ ارسال‌شده به شکل $r+4a^2+\sqrt{2a^2+3a}=2$ است، اما نماد $r$ تعریف نشده است. بنابراین صورت فعلی برای تعیین یکتای نسبت کافی نیست و احتمال خطای تایپی یا تبدیل متن وجود دارد.

گام اول: بررسی شرایط تعریف عبارت‌ها
برای تعریف رادیکال باید $2a^2+3a\geq0$ باشد؛ پس $a\leq-\frac{3}{2}$ یا $a\geq0$. همچنین برای تعریف نسبت خواسته‌شده باید $a\neq0$ باشد. توجه به دامنه و بررسی جواب در معادلهٔ اولیه، از اصول حل معادلات گویا و رادیکالی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۹ و صفحه‌های ۲۲–۲۳).

گام دوم: بررسی امکان تعیین مجهول
از معادلهٔ داده‌شده داریم:
$r=2-4a^2-\sqrt{2a^2+3a}$.
پس برای هر مقدار مجاز و ناصفر از $a$، می‌توان مقداری حقیقی برای $r$ تعیین کرد تا معادله برقرار شود. در نتیجه، بدون داده‌ای دیگر دربارهٔ $r$، مقدار $a$ و نسبت خواسته‌شده یکتا نیست.

گام سوم: بررسی مقدار سازگار با کلید اعلام‌شده
گزینهٔ چهارم مقدار $4.5=\frac{9}{2}$ را پیشنهاد می‌کند. اگر این مقدار را برای نسبت بپذیریم، داریم:
$\frac{a+1}{a}=\frac{9}{2}\Rightarrow1+\frac{1}{a}=\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{7}{2}\Rightarrow a=\frac{2}{7}$.
این مقدار در دامنه قرار دارد، اما معادله فقط در صورتی برقرار می‌شود که:
$r=2-\frac{16}{49}-\frac{\sqrt{46}}{7}$.
چنین مقداری برای $r$ در سؤال داده نشده است؛ بنابراین این محاسبه صرفاً سازگاری گزینهٔ چهارم با یک مقدار خاص از $r$ را نشان می‌دهد، نه درستی انحصاری آن را.

جمع‌بندی: کلید اعلام‌شده گزینهٔ چهارم است، اما اثبات آن از صورت فعلی سؤال ممکن نیست؛ برای ارائهٔ حل قطعی، باید صورت صحیح معادله مشخص شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: قاعدهٔ کوچک ذوزنقه را $a$، قاعدهٔ بزرگ را $b$ و ارتفاع را $h$ می‌نامیم؛ بنابراین $a<b$. طول پاره‌خط واصل وسط‌های ساق‌ها را نیز با $m$ نشان می‌دهیم.

گام دوم: طول پاره‌خط میانی را به دست می‌آوریم. طبق ویژگی پاره‌خط واصل وسط‌های دو ضلع مثلث، این پاره‌خط با ضلع سوم موازی و برابر نصف آن است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۰–۴۱). با رسم یک قطر ذوزنقه و وصل‌کردن وسط قطر به وسط هر ساق، دو پاره‌خط هم‌راستا به طول‌های $\frac{a}{2}$ و $\frac{b}{2}$ به دست می‌آید. پس پاره‌خط واصل وسط‌های ساق‌ها با قاعده‌ها موازی است و طول آن برابر است با:
$m=\frac{a+b}{2}$.
این خط، ارتفاع ذوزنقه را نیز نصف می‌کند؛ بنابراین ارتفاع هر بخش $\frac{h}{2}$ است.

گام سوم: مساحت بخش مجاور قاعدهٔ کوچک را $S_1$ و مساحت بخش مجاور قاعدهٔ بزرگ را $S_2$ می‌نامیم. با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه داریم:
$S_1=\frac{a+m}{2}\times\frac{h}{2}=\frac{h(a+m)}{4}$،
$S_2=\frac{b+m}{2}\times\frac{h}{2}=\frac{h(b+m)}{4}$.
چون $a<b$، داریم $S_1<S_2$؛ پس نسبت داده‌شده در صورت سؤال به شکل زیر است:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a+m}{b+m}=\frac{1}{2}$.

گام چهارم: مقدار $m$ را جای‌گذاری و تناسب را حل می‌کنیم. با استفاده از خاصیت ضرب طرفین و وسطین تناسب (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۲):
$\frac{a+\frac{a+b}{2}}{b+\frac{a+b}{2}}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow\frac{3a+b}{a+3b}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2(3a+b)=a+3b$
$\Rightarrow 6a+2b=a+3b$
$\Rightarrow 5a=b$
$\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$.

بنابراین نسبت قاعدهٔ کوچک به قاعدهٔ بزرگ برابر $\frac{1}{5}$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۲

زاویهٔ قائمه در رأس $A$ است و $H$ و $M$ هر دو روی وتر $BC$ قرار دارند.

گام اول: محاسبهٔ وتر
با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس، که در فعالیت روابط طولی مثلث قائم‌الزاویه نیز نتیجه‌گیری شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۴–۴۵)، داریم:
$BC^2=AB^2+AC^2=(3\sqrt{5})^2+6^2=45+36=81$
پس:
$BC=9$

گام دوم: تعیین محل پای ارتفاع و وسط وتر
از تشابه مثلث‌های حاصل از رسم ارتفاع بر وتر، رابطهٔ زیر به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۴–۴۵):
$AB^2=BH\times BC$
بنابراین:
$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{45}{9}=5$
از طرفی، چون $AM$ میانه است، $M$ وسط وتر است؛ پس:
$BM=\frac{BC}{2}=\frac{9}{2}$
چون $BH>BM$، نقطهٔ $H$ بین $M$ و $C$ قرار دارد و داریم:
$MH=BH-BM=5-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$

گام سوم: مقایسهٔ مساحت‌ها
برای محاسبهٔ مساحت، باید قاعده و ارتفاع متناظر با آن را در نظر گرفت؛ محاسبهٔ مساحت مثلث قائم‌الزاویه با انتخاب قاعده‌های مختلف نیز در کتاب مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۰–۴۱).

قاعده‌های $BC$ و $MH$ روی یک خط‌اند و هر دو مثلث رأس $A$ را دارند؛ بنابراین ارتفاع متناظر با این دو قاعده، همان $AH$ است. در نتیجه:
$\frac{S_{ABC}}{S_{AMH}}=\frac{\frac{1}{2}BC\times AH}{\frac{1}{2}MH\times AH}=\frac{BC}{MH}=\frac{9}{\frac{1}{2}}=18$
پس مساحت مثلث $ABC$، برابر با $18$ برابر مساحت مثلث $AMH$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا زاویه‌ها را با استفاده از تناوب نسبت‌های مثلثاتی ساده می‌کنیم؛ سینوس و کسینوس با افزودن یا کاستن مضرب‌های $2\pi$ تغییر نمی‌کنند و دورهٔ تناوب تانژانت $\pi$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

گام اول ــ محاسبهٔ حاصل‌ضرب اول:

$\frac{17\pi}{3}=4\pi+\frac{5\pi}{3}$، پس

$\sin\frac{17\pi}{3}=\sin\frac{5\pi}{3}=\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

در این محاسبه از رابطهٔ $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ استفاده کردیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۹–۸۰).

برای کسینوس، با افزودن $4\pi$ به زاویه داریم:

$\cos(-\frac{17\pi}{6})=\cos(-\frac{17\pi}{6}+4\pi)=\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

زیرا زاویهٔ $\frac{7\pi}{6}$ در ربع سوم است، کسینوس آن منفی است و زاویهٔ مرجع آن $\frac{\pi}{6}$ است. بنابراین:

$\sin\frac{17\pi}{3}\cos(-\frac{17\pi}{6})=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{4}$.

گام دوم ــ محاسبهٔ حاصل‌ضرب دوم:

$\tan\frac{19\pi}{4}=\tan(\frac{19\pi}{4}-4\pi)=\tan\frac{3\pi}{4}=-1$.

همچنین با افزودن یک دور کامل به زاویهٔ سینوس:

$\sin(-\frac{11\pi}{6})=\sin(-\frac{11\pi}{6}+2\pi)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

پس:

$\tan\frac{19\pi}{4}\sin(-\frac{11\pi}{6})=(-1)\times\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$.

گام سوم ــ جمع دو حاصل‌ضرب:

$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: یکسان کردن مبناها
در صورت سؤال، $0/4$ نمایش اعشاریِ $0.4$ است؛ بنابراین:
$0.4=\frac{2}{5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$
همچنین:
$\frac{125}{8}=\left(\frac{5}{2}\right)^3$
پس با استفاده از قوانین توان، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$\left(\frac{5}{2}\right)^{1-2x}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3x^2}$

گام دوم: حل معادلهٔ حاصل
تابع نمایی با مبنای مثبت و مخالف یک، یک‌به‌یک است؛ پس توان‌های دو طرف برابرند:
$1-2x=3x^2$
$3x^2+2x-1=0$
$(3x-1)(x+1)=0$
بنابراین:
$x=\frac{1}{3}\quad\text{یا}\quad x=-1$

گام سوم: بررسی شرط تعریف لگاریتم
عدد داخل لگاریتم باید مثبت باشد؛ این شرط در تعریف لگاریتم و بررسی جواب‌های معادلات لگاریتمی ضروری است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۹–۱۱۱ و ۱۱۲):
$9x+1>0$
برای $x=-1$، عدد داخل لگاریتم برابر $-8$ می‌شود؛ بنابراین این ریشه برای عبارت خواسته‌شده قابل قبول نیست. برای $x=\frac{1}{3}$ داریم:
$9x+1=9\times\frac{1}{3}+1=4>0$

گام چهارم: محاسبهٔ مقدار لگاریتم
طبق تعریف، $\log_a b$ توانی است که باید به مبنای $a$ بدهیم تا $b$ حاصل شود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۹–۱۱۱). چون:
$8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2=4$
نتیجه می‌گیریم:
$\log_8(9x+1)=\log_8 4=\frac{2}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تشخیص $U(x)$، دامنه، نقطهٔ عبور و نزولی بودن نمودار را بررسی می‌کنیم.

گام اول ـ شرط تعریف لگاریتم: عبارت داخل لگاریتم باید مثبت باشد؛ یعنی $U(x)>0$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹). نمودار داده‌شده در سمت راست مجانب $x=-1$ قرار دارد، پس دامنهٔ آن $x>-1$ است. برای دو عبارت $x+1$ و $(x+1)^{-1}$، شرط مثبت بودن دقیقاً $x>-1$ است؛ اما برای $x-1$ دامنهٔ لگاریتم $x>1$ و برای $1-x$ دامنهٔ آن $x<1$ می‌شود. بنابراین فقط دو عبارت نخست باقی می‌مانند.

گام دوم ـ بررسی عبور از مبدأ: با قرار دادن نقطهٔ $(0,0)$ در رابطهٔ تابع داریم $\log_2 U(0)=0$. طبق رابطهٔ وارون بودن توابع نمایی و لگاریتمی، نتیجه می‌شود $U(0)=2^0=1$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷). هر دو عبارت باقی‌مانده این شرط را دارند؛ پس عبور از مبدأ به‌تنهایی برای انتخاب کافی نیست.

گام سوم ـ استفاده از نزولی بودن: تابع $y=\log_2 x$ چون مبنایش بزرگ‌تر از یک است، صعودی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹). در نتیجه $y=\log_2(x+1)$ نیز صعودی است و با شکل سازگار نیست. در مقابل، عبارت $\frac{1}{x+1}$ در دامنهٔ $x>-1$ با افزایش $x$ کاهش می‌یابد؛ پس لگاریتم آن نیز نزولی است.

برای تأیید از دید نموداری نیز داریم $\log_2\!\left((x+1)^{-1}\right)=-\log_2(x+1)$. نمودار این تابع با انتقال نمودار $y=\log_2 x$ به اندازهٔ یک واحد به چپ و سپس قرینه‌سازی نسبت به محور افقی به دست می‌آید؛ بنابراین مجانب آن $x=-1$ است، از مبدأ می‌گذرد و نزولی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۵–۱۱۶).

پس $U(x)=(x+1)^{-1}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

نکتهٔ ضروری دربارهٔ صورت سؤال: در ضابطهٔ ارسالی، نمادهای $\Lambda$ و $r$ مشخص نشده‌اند؛ بنابراین پاسخ عددی از همین متن به‌تنهایی قابل استخراج نیست. پاسخ تأییدشده با این خوانشِ احتمالی سازگار است: $f(x)=\begin{cases}\dfrac{8+x^3}{|x+2|}&x\ne-2\\a&x=-2\end{cases}$. حل زیر مشروط به همین اصلاح است.

گام اول ـ شرط پیوستگی فقط از چپ:
طبق تعریف پیوستگی یک‌طرفه، باید $\lim_{x\to-2^-}f(x)=f(-2)=a$ باشد و پیوستگی راست برقرار نباشد (ریاضی ۲، صفحات ۱۳۹–۱۴۰).

گام دوم ـ تجزیه و ساده‌سازی:
با اتحاد مجموع دو مکعب داریم: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$. پس برای $x\ne-2$، ضابطه به صورت $f(x)=\dfrac{x+2}{|x+2|}(x^2-2x+4)$ درمی‌آید.

گام سوم ـ محاسبهٔ حد چپ:
در سمت چپِ $-2$ داریم $x+2<0$؛ بنابراین $|x+2|=-(x+2)$ و در نتیجه $f(x)=-(x^2-2x+4)$. با استفاده از پیوستگی چندجمله‌ای‌ها و جای‌گذاری در عبارت ساده‌شده (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۱)، به دست می‌آوریم: $\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\bigl((-2)^2-2(-2)+4\bigr)=-(4+4+4)=-12$. پس برای پیوستگی چپ باید $a=-12$ باشد.

گام چهارم ـ بررسی «فقط از چپ»:
در سمت راستِ $-2$ داریم $|x+2|=x+2$؛ پس $\lim_{x\to-2^+}f(x)=\lim_{x\to-2^+}(x^2-2x+4)=12$. این مقدار با $f(-2)=-12$ برابر نیست؛ بنابراین تابع از راست پیوسته نیست و فقط پیوستگی چپ دارد.

با فرض اصلاح ضابطه به صورت بیان‌شده، پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم:
$A$: موفقیت در آزمون اول؛
$B$: موفقیت در آزمون دوم.
پس داده‌های سؤال عبارت‌اند از:
$P(A)=0.7,\qquad P(B)=0.6,\qquad P(B\mid A)=0.8$.

گام دوم: احتمال موفقیت در هر دو آزمون را به دست می‌آوریم. طبق تعریف احتمال شرطی، داریم $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵). بنابراین:
$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=0.7\times0.8=0.56$.
توجه کنید که دو پیشامد مستقل نیستند؛ زیرا $P(B\mid A)=0.8$ با $P(B)=0.6$ برابر نیست. پس نباید برای محاسبهٔ اشتراک، احتمال‌های غیرشرطی را در هم ضرب کنیم.

گام سوم: «لااقل در یکی از دو آزمون موفق شود» یعنی در آزمون اول یا دوم یا هر دو موفق شود؛ بنابراین پیشامد مطلوب $A\cup B$ است. طبق رابطهٔ احتمال اجتماع، احتمال اشتراک را از مجموع احتمال‌ها کم می‌کنیم تا موفقیت هم‌زمان دوبار شمرده نشود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۴۳–۱۴۴):
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
در نتیجه:
$P(A\cup B)=0.7+0.6-0.56=0.74$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

در این سؤال، منظور از گروه «بهتر»، گروهی با پراکندگی نسبی کمتر و در نتیجه نمرات مسئولیت‌پذیری همگن‌تر است؛ نه صرفاً گروهی که میانگین بالاتری دارد.

گام اول: انتخاب شاخص مناسب
چون میانگین دو گروه متفاوت است، برای مقایسهٔ پراکندگی نسبت به میانگین، ضریب تغییرات را حساب می‌کنیم. طبق تعریف کتاب:
$cv=\frac{\sigma}{\bar{X}}$
این شاخص معمولاً به‌صورت درصد بیان می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶۰–۱۶۱).

گام دوم: محاسبهٔ انحراف معیارها
انحراف معیار، جذر واریانس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۹–۱۶۰). بنابراین:
$\sigma_1=\sqrt{25}=5$
$\sigma_2=\sqrt{16}=4$

گام سوم: محاسبه و مقایسهٔ ضریب تغییرات
برای گروه اول:
$cv_1=\frac{5}{80}=0.0625=6.25\%$
برای گروه دوم:
$cv_2=\frac{4}{72}=\frac{1}{18}\approx0.0556=5.56\%$
پس:
$cv_2<cv_1$
بنابراین نمرات گروه دوم نسبت به میانگین خود پراکندگی کمتری دارند و این گروه، از نظر همگنی مسئولیت‌پذیری، بهتر است. توجه کنید که این نتیجه به معنای بالاتر بودن میانگین مسئولیت‌پذیری گروه دوم نیست؛ میانگین گروه اول بالاتر است، اما معیار موردنظر سؤال پراکندگی نسبی است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای اکیداً نزولی بودن، باید به ازای هر دو ورودی با شرط $x_1<x_2$، رابطهٔ $f(x_1)>f(x_2)$ برقرار باشد؛ بنابراین ثابت بودن تابع در یک بازه، اکیداً نزولی بودن آن را تأمین نمی‌کند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷–۹).

گام اول: نقاط تغییر علامت عبارت‌های داخل قدرمطلق را پیدا می‌کنیم:
$x+2=0\Rightarrow x=-2$ و $x-1=0\Rightarrow x=1$.
پس ضابطهٔ تابع را در سه بخش بررسی می‌کنیم.

گام دوم: اگر $x<-2$ باشد، هر دو عبارت داخل قدرمطلق منفی‌اند؛ بنابراین:
$f(x)=-(x+2)-(x-1)=-2x-1$.
این ضابطه اکیداً نزولی است؛ زیرا برای $x_1<x_2$ داریم:
$f(x_1)-f(x_2)=2(x_2-x_1)>0$.
پس تابع در بازهٔ $(-\infty,-2)$ اکیداً نزولی است.

گام سوم: اگر $-2\le x\le1$ باشد، عبارت اول نامنفی و عبارت دوم نامثبت است؛ پس:
$f(x)=(x+2)-(x-1)=3$.
بنابراین تابع در این بخش ثابت است، نه اکیداً نزولی. به همین دلیل، بازهٔ بزرگ‌تر $(-\infty,1)$ نیز شرط اکیداً نزولی بودن را ندارد.

گام چهارم: اگر $x>1$ باشد، هر دو عبارت داخل قدرمطلق مثبت‌اند؛ پس:
$f(x)=(x+2)+(x-1)=2x+1$.
این ضابطه با افزایش ورودی افزایش می‌یابد و اکیداً صعودی است.

در نتیجه، از میان بازه‌های داده‌شده تنها $(-\infty,-2)$ شرط مسئله را دارد.
پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ساده‌کردن عبارت مثلثاتی
با استفاده از اتحاد تفاضل دو زاویه داریم:
$\sin(\frac{3\pi}{2}-x)=\sin\frac{3\pi}{2}\cos x-\cos\frac{3\pi}{2}\sin x=-\cos x$.
پس معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$-4\sin x\cos x=1$.
با اتحاد $2\sin x\cos x=\sin 2x$ نتیجه می‌شود:
$-2\sin 2x=1\ \Rightarrow\ \sin 2x=-\frac{1}{2}$.
روش تبدیل حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس به سینوس دوبرابر زاویه، در مثال‌های معادلات مثلثاتی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۷–۴۸).

گام دوم: یافتن جواب‌ها در بازهٔ خواسته‌شده
قرار می‌دهیم $t=2x$. چون $x\in[0,2\pi]$، داریم $t\in[0,4\pi]$.
طبق روش حل معادلهٔ $\sin t=-\frac{1}{2}$، جواب‌های کلی عبارت‌اند از:
$t=2k\pi-\frac{\pi}{6}$ یا $t=2k\pi+\frac{7\pi}{6}$، که $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵).
با محدودکردن این جواب‌ها به بازهٔ $[0,4\pi]$، به دست می‌آید:
$t\in\left\{\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6},\frac{19\pi}{6},\frac{23\pi}{6}\right\}$.
اکنون با تقسیم هر جواب بر $2$ داریم:
$x\in\left\{\frac{7\pi}{12},\frac{11\pi}{12},\frac{19\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\right\}$.

گام سوم: محاسبهٔ مجموع جواب‌ها
$\sum x=\frac{7\pi+11\pi+19\pi+23\pi}{12}=\frac{60\pi}{12}=5\pi$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: بررسی جایگذاری مستقیم
با قرار دادن $x=-8$، صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند:
$(-8)^2+10(-8)+16=0$ و $12+6\sqrt[3]{-8}=0$.
پس با حالت مبهم $\frac{0}{0}$ روبه‌رو هستیم و باید عامل صفرشونده را آشکار و حذف کنیم؛ این همان روش رفع ابهام با تجزیه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۲).

گام دوم: تجزیهٔ صورت و مخرج
داریم:
$x^2+10x+16=(x+2)(x+8)$،
$12+6\sqrt[3]{x}=6(\sqrt[3]{x}+2)$.
برای تجزیهٔ عامل $x+8$ از اتحاد مجموع مکعب‌ها استفاده می‌کنیم:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
بنابراین:
$x+8=(\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)$.
تمرین مشابهی با عامل‌های $x+8$ و $\sqrt[3]{x}+2$ نیز در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

گام سوم: حذف عامل مشترک
برای $x\ne-8$، عامل $\sqrt[3]{x}+2$ ناصفر است؛ پس در محاسبهٔ حد می‌توان آن را ساده کرد:
$\frac{x^2+10x+16}{12+6\sqrt[3]{x}}=\frac{(x+2)(\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)}{6(\sqrt[3]{x}+2)}=\frac{(x+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)}{6}$.

گام چهارم: محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده
وقتی $x\to-8$، داریم $\sqrt[3]{x}\to-2$. بنابراین:
$\lim_{x\to-8}\frac{x^2+10x+16}{12+6\sqrt[3]{x}}=\frac{(-8+2)((-2)^2-2(-2)+4)}{6}=\frac{(-6)(4+4+4)}{6}=-12$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: دامنهٔ تابع را مشخص می‌کنیم. با استفاده از تعریف قدرمطلق، اگر $x<0$ باشد، داریم $|x|=-x$؛ بنابراین $x+|x|=x-x=0$ و کسر تعریف نمی‌شود. در $x=0$ نیز مخرج صفر است. اما اگر $x>0$ باشد، $|x|=x$ و مخرج برابر $2x$ و ناصفر است. پس دامنهٔ تابع $D_f=(0,+\infty)$ است.

گام دوم: حد چپ را بررسی می‌کنیم. چون در سمت چپ صفر هیچ نقطه‌ای از دامنهٔ تابع وجود ندارد، نمی‌توان برای این تابع حد چپ در صفر در نظر گرفت. در نتیجه، دو بیان مربوط به نزدیک‌شدن از چپ نادرست‌اند.

گام سوم: حد راست را محاسبه می‌کنیم. برای $x>0$ داریم:
$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$.
هنگامی که $x\to0^+$، صورت به $-1$ نزدیک می‌شود و مخرج از مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند. به‌ویژه، برای $0<x<1$، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ بنابراین مقدار کسر منفی است و قدرمطلق آن بدون کران افزایش می‌یابد. این همان رفتار حد نامتناهی یک‌طرفه است که در تمرین‌های حد نامتناهی و تفسیر آن بررسی شده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

پس $\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-1}{x+|x|}=-\infty$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا توجه می‌کنیم که وقتی $x\to-\infty$، مقدار $x$ منفی است؛ بنابراین $\sqrt{x^2}=|x|=-x$. این نکته در تعیین علامت عبارت رادیکالی نقش اصلی دارد.

گام اول ـ گویاکردن: برای ساده‌کردن جمعِ دو جمله، از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم:
$f(x)=2x+\sqrt{4x^2+x}=\frac{(2x+\sqrt{4x^2+x})(2x-\sqrt{4x^2+x})}{2x-\sqrt{4x^2+x}}=\frac{4x^2-(4x^2+x)}{2x-\sqrt{4x^2+x}}=\frac{-x}{2x-\sqrt{4x^2+x}}.$

گام دوم ـ تقسیم بر $x$: مانند روش ساده‌سازی کسرها در حد در بی‌نهایت، صورت و مخرج را بر توان مناسب متغیر تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰). چون $x<0$، داریم:
$\sqrt{4x^2+x}=\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}=-x\sqrt{4+\frac{1}{x}}.$
پس:
$f(x)=\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}}=\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}.$

گام سوم ـ محاسبهٔ حد: طبق قضیهٔ حد توان‌های معکوس، $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$؛ همچنین چون حد مخرج ناصفر است، می‌توان از قاعدهٔ حد خارج‌قسمت استفاده کرد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۹–۶۰). بنابراین:
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{-1}{2+\sqrt{4+0}}=\frac{-1}{4}.$

در نتیجه، دادهٔ «گزینهٔ صحیح تأییدشده» با صورت سؤال سازگار نیست: حد برابر $-\frac{1}{4}$ است، در حالی که گزینهٔ سوم $\frac{1}{4}$ نوشته شده و هیچ‌یک از گزینه‌های موجود درست نیست. اگر علامت گزینهٔ سوم به منفی اصلاح شود، پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تشخیص تعریف مشتق
طبق تعریف مشتق در یک نقطه داریم (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷۳–۷۴):
$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
پس حد خواسته‌شده همان $f'(4)$ است.

گام دوم: مشتق‌گیری از تابع
صورت و مخرج تابع را به‌ترتیب $u(x)=1+\sqrt{x}$ و $v(x)=5-2x$ می‌نامیم. با استفاده از مشتق تابع رادیکالی و قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت (ریاضی ۳، صفحه‌های ۸۶–۸۷)، داریم:
$u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad v'(x)=-2$
$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}=\frac{\frac{5-2x}{2\sqrt{x}}+2(1+\sqrt{x})}{(5-2x)^2}$
در $x=4$، عبارت زیر رادیکال مثبت و مخرج تابع ناصفر است؛ بنابراین استفاده از این قواعد مجاز است.

گام سوم: محاسبه در نقطهٔ موردنظر
با توجه به $\sqrt{4}=2$ و $5-2(4)=-3$، به دست می‌آوریم:
$f'(4)=\frac{\frac{-3}{4}+2(1+2)}{(-3)^2}=\frac{-\frac{3}{4}+6}{9}=\frac{\frac{21}{4}}{9}=\frac{7}{12}$
بنابراین حد خواسته‌شده برابر $\frac{7}{12}$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تعیین نقطهٔ نیازمند بررسی
هر ضابطه در بازهٔ مربوط به خود مشتق‌پذیر است؛ به‌ویژه مخرج ضابطهٔ کسری برای $x\geq2$ صفر نمی‌شود. بنابراین فقط باید نقطهٔ تغییر ضابطه، یعنی $x=2$، را بررسی کنیم. مشتق‌پذیری روی کل اعداد حقیقی مستلزم مشتق‌پذیری در تک‌تک نقاط، از جمله این نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۸–۸۹).

گام دوم: استفاده از شرط پیوستگی
چون تابع در $x=2$ مشتق‌پذیر است، در این نقطه پیوسته نیز هست. مقدار تابع را از ضابطهٔ شامل نقطهٔ اتصال به دست می‌آوریم:
$f(2)=\frac{1}{2-1}=1$.
حد چپ نیز باید با این مقدار برابر باشد؛ پس:
$\lim_{x\to2^-}f(x)=-4+2a+b=1$.
بنابراین شرط پیوستگی عبارت است از:
$2a+b=5$.

گام سوم: برابری مشتق‌های یک‌طرفه
با استفاده از قواعد مشتق‌گیری چندجمله‌ای و تابع کسری داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
$(-x^2+ax+b)'=-2x+a$،
$\left(\frac{1}{x-1}\right)'=-\frac{1}{(x-1)^2}$.
با توجه به برقرار بودن شرط پیوستگی، مشتق‌های چپ و راست در نقطهٔ اتصال از این ضابطه‌ها محاسبه می‌شوند:
$f'_-(2)=-4+a$،
$f'_+(2)=-\frac{1}{(2-1)^2}=-1$.
برای مشتق‌پذیری باید این دو مقدار برابر باشند:
$-4+a=-1\Rightarrow a=3$.

گام چهارم: محاسبهٔ پارامتر خواسته‌شده
مقدار به‌دست‌آمده را در شرط پیوستگی قرار می‌دهیم:
$2(3)+b=5\Rightarrow b=-1$.
با این مقادیر، هم پیوستگی و هم برابری مشتق‌های یک‌طرفه در نقطهٔ اتصال برقرار است؛ پس تابع در سراسر دامنه مشتق‌پذیر خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

نکتهٔ نگارشی: با توجه به داده‌ها و پاسخ تأییدشده، نماد $\Delta$ در صورت سؤال، بازنویسی نادرست رقم $5$ است و منظور، محاسبهٔ $f'(5)$ است.

گام اول ـ تعیین ورودی تابع بیرونی:
در تابع مرکب، ورودی تابع $f$ برابر خروجی تابع $g$ است؛ بنابراین:
$g(2)=\frac{2\times2+1}{2-1}=5$.

گام دوم ـ محاسبهٔ مشتق تابع داخلی:
با استفاده از قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت، همانند روش به‌کاررفته در مثال تابع مرکب کسری کتاب (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۸)، داریم:
$g'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}$.
پس:
$g'(2)=\frac{-3}{(2-1)^2}=-3$.

گام سوم ـ استفاده از قاعدهٔ زنجیری:
طبق قاعدهٔ مشتق تابع مرکب (ریاضی ۳، صفحه‌های ۸۷–۸۸):
$(f\circ g)'(x)=g'(x)f'(g(x))$.
در نتیجه، در نقطهٔ $x=2$ داریم:
$6=(-3)f'(5)$.
با تقسیم دو طرف بر $-3$:
$f'(5)=\frac{6}{-3}=-2$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

با صورت سؤالِ داده‌شده، پاسخ محاسباتی با کلید اعلام‌شده سازگار نیست.

گام اول: محاسبهٔ آهنگ تغییر لحظه‌ای
طبق تعریف کتاب، آهنگ تغییر لحظه‌ای در یک نقطه برابر مقدار مشتق تابع در همان نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). بنابراین:
$f(x)=\frac{1}{x}-x^2\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}-2x$
در نقطهٔ خواسته‌شده داریم:
$f'(2)=-\frac{1}{4}-4=-\frac{17}{4}$

گام دوم: محاسبهٔ آهنگ تغییر متوسط
آهنگ تغییر متوسط برابر نسبت تغییر مقدار تابع به طول بازه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵):
$A=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$
مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:
$f(1)=1-1=0$
$f(4)=\frac{1}{4}-16=-\frac{63}{4}$
پس:
$A=\frac{-\frac{63}{4}-0}{3}=-\frac{21}{4}$

گام سوم: محاسبهٔ اختلاف
با کم‌کردن آهنگ متوسط از آهنگ لحظه‌ای به دست می‌آوریم:
$f'(2)-A=-\frac{17}{4}-\left(-\frac{21}{4}\right)=\frac{4}{4}=1$
اگر منظور از «اختلاف» فاصلهٔ دو مقدار نیز باشد، نتیجه همچنان $1$ است.

بنابراین مقدار درست برای تابع و بازهٔ درج‌شده $1$ است و در گزینه‌ها وجود ندارد؛ گزینهٔ ۲، یعنی $0.5$، با این داده‌ها درست نیست و لازم است صورت سؤال یا کلید بازبینی شود.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها.