سوال ۱۴۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

با صورت سؤالِ داده‌شده، پاسخ محاسباتی با کلید اعلام‌شده سازگار نیست.

گام اول: محاسبهٔ آهنگ تغییر لحظه‌ای
طبق تعریف کتاب، آهنگ تغییر لحظه‌ای در یک نقطه برابر مقدار مشتق تابع در همان نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). بنابراین:
$f(x)=\frac{1}{x}-x^2\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}-2x$
در نقطهٔ خواسته‌شده داریم:
$f'(2)=-\frac{1}{4}-4=-\frac{17}{4}$

گام دوم: محاسبهٔ آهنگ تغییر متوسط
آهنگ تغییر متوسط برابر نسبت تغییر مقدار تابع به طول بازه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵):
$A=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$
مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:
$f(1)=1-1=0$
$f(4)=\frac{1}{4}-16=-\frac{63}{4}$
پس:
$A=\frac{-\frac{63}{4}-0}{3}=-\frac{21}{4}$

گام سوم: محاسبهٔ اختلاف
با کم‌کردن آهنگ متوسط از آهنگ لحظه‌ای به دست می‌آوریم:
$f'(2)-A=-\frac{17}{4}-\left(-\frac{21}{4}\right)=\frac{4}{4}=1$
اگر منظور از «اختلاف» فاصلهٔ دو مقدار نیز باشد، نتیجه همچنان $1$ است.

بنابراین مقدار درست برای تابع و بازهٔ درج‌شده $1$ است و در گزینه‌ها وجود ندارد؛ گزینهٔ ۲، یعنی $0.5$، با این داده‌ها درست نیست و لازم است صورت سؤال یا کلید بازبینی شود.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها.