کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۳۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۳۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمودار تابع $f(x)=x^3+ax-b$ در نقطه‌ای به طول ۲ بر محور xها مماس است. مقدار $a-b$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: $-4$
گزینهٔ ۲: $-2$
گزینهٔ ۳: $4$
گزینهٔ ۴: $2$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: شرط‌های تماس با محور افقی را بنویسیم.
مشتق تابع در یک نقطه برابر شیب خط مماس در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۲–۸۳). چون خط مماس همان محور $x$ هاست، شیب آن صفر است. از طرف دیگر، نقطهٔ تماس روی محور افقی قرار دارد، پس عرض آن نیز صفر است. بنابراین:
$f'(2)=0,\qquad f(2)=0$

گام دوم: مقدار $a$ را به دست آوریم.
با مشتق‌گیری از تابع داریم:
$f(x)=x^3+ax-b\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=3x^2+a$
پس:
$f'(2)=3(2)^2+a=12+a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-12$

گام سوم: مقدار $b$ را حساب کنیم.
از شرط قرارداشتن نقطهٔ تماس روی محور افقی استفاده می‌کنیم:
$f(2)=2^3+2a-b=0$
با جای‌گذاری مقدار $a$ :
$8+2(-12)-b=0\quad\Longrightarrow\quad -16-b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-16$

گام چهارم: عبارت خواسته‌شده را محاسبه کنیم.
$a-b=-12-(-16)=-12+16=-4$

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: اگر مشتق $x^3$ را به‌اشتباه $3x$ بگیرید، به $a=-6$ و سپس $b=-4$ می‌رسید و حاصل $-2$ می‌شود؛ درحالی‌که مشتق درست این جمله $3x^2$ است.
گزینهٔ ۳: این گزینه از محاسبهٔ $b-a$ به‌جای $a-b$ به دست می‌آید: $-16-(-12)=4$ . ترتیب تفریق در عبارت خواسته‌شده مهم است.
گزینهٔ ۴: این مقدار می‌تواند حاصل دو خطا باشد: نوشتن مشتق $x^3$ به‌صورت $3x$ و سپس محاسبهٔ $b-a$ به‌جای $a-b$ . باید هم قانون مشتق توان و هم ترتیب تفریق را درست به کار برد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعبیر هندسی مشتق را به یاد آورید: مشتق در هر نقطه، شیب خط مماس در همان نقطه است. همچنین محل نقطهٔ تماس با محور افقی را بررسی کنید.
مماس‌بودن بر محور افقی در طول داده‌شده، دو شرط هم‌زمان می‌دهد: $f(2)=0$ و $f'(2)=0$ .
ابتدا از $f'(x)=3x^2+a$ و شرط مشتق، $a$ را پیدا کنید؛ سپس آن را در $8+2a-b=0$ بگذارید و هنگام محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده، به منفی‌بودن $b$ دقت کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری