کنکور تجربی ۱۳۹۸ · ریاضی

سوال ۱۴۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۴۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۴۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۴۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

در تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{5-2x}$ ، حاصل $\lim_{x\to4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}$ ، کدام است؟

گزینهٔ ۱: $\frac{4}{9}$
گزینهٔ ۲: $\frac{5}{12}$
گزینهٔ ۳: $\frac{7}{12}$
گزینهٔ ۴: $\frac{5}{6}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص تعریف مشتق
طبق تعریف مشتق در یک نقطه داریم (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷۳–۷۴):
$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
پس حد خواسته‌شده همان $f'(4)$ است.

گام دوم: مشتق‌گیری از تابع
صورت و مخرج تابع را به‌ترتیب $u(x)=1+\sqrt{x}$ و $v(x)=5-2x$ می‌نامیم. با استفاده از مشتق تابع رادیکالی و قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت (ریاضی ۳، صفحه‌های ۸۶–۸۷)، داریم:
$u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad v'(x)=-2$
$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}=\frac{\frac{5-2x}{2\sqrt{x}}+2(1+\sqrt{x})}{(5-2x)^2}$
در $x=4$ ، عبارت زیر رادیکال مثبت و مخرج تابع ناصفر است؛ بنابراین استفاده از این قواعد مجاز است.

گام سوم: محاسبه در نقطهٔ موردنظر
با توجه به $\sqrt{4}=2$ و $5-2(4)=-3$ ، به دست می‌آوریم:
$f'(4)=\frac{\frac{-3}{4}+2(1+2)}{(-3)^2}=\frac{-\frac{3}{4}+6}{9}=\frac{\frac{21}{4}}{9}=\frac{7}{12}$
بنابراین حد خواسته‌شده برابر $\frac{7}{12}$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است بر اثر خطا در ساده‌کردن صورتِ فرمول مشتق خارج‌قسمت، این گزینه انتخاب شود؛ اما صورت پس از جای‌گذاری برابر $-\frac{3}{4}+6=\frac{21}{4}$ است و با تقسیم آن بر $9$ ، مقدار $\frac{4}{9}$ به دست نمی‌آید.
گزینهٔ ۲: اگر مشتق صورت در نقطهٔ موردنظر به‌اشتباه $\frac{3}{4}$ گرفته شود، نتیجهٔ $\frac{5}{12}$ به دست می‌آید. درحالی‌که مشتق عدد ثابت صفر است و مشتق صورت در این نقطه برابر $\frac{1}{4}$ است.
گزینهٔ ۴: خطا در محاسبهٔ مشتق رادیکال یا مخرجِ فرمول مشتق خارج‌قسمت می‌تواند به انتخاب این گزینه منجر شود. با اعمال درست قاعده، باید $\frac{21}{4}$ را بر $9$ تقسیم کرد که برابر $\frac{5}{6}$ نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف مشتق در یک نقطه را در ریاضی ۳، صفحه‌های ۷۳–۷۴، به یاد بیاورید؛ ساختار حد سؤال دقیقاً با یکی از شکل‌های این تعریف مطابقت دارد.
به‌جای محاسبهٔ مستقیم حد، مشتق تابع را با قاعدهٔ خارج‌قسمت حساب کنید. مشتق صورت برابر $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ و مشتق مخرج برابر $-2$ است.
در نقطهٔ $x=4$ ، مقدار صورت تابع $3$ ، مقدار مخرج $-3$ و مشتق صورت $\frac{1}{4}$ است. این مقادیر را در رابطهٔ $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ جای‌گذاری کنید و مراقب دو علامت منفی باشید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۳۹۸

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری