دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۳۹۸ · ریاضی

سوال ۱۴۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۴۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۴۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۴۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

تابع با ضابطهٔ f(x)={1x−1;  x≥2−x2+ax+b;  x<2f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x-1} & ;\; x \ge 2 \\ -x^2+ax+b & ;\; x<2 \end{cases}، روی مجموعه اعداد حقیقی مشتق‌پذیر است. b کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: −2-2
  2. گزینهٔ ۲: −1-1
  3. گزینهٔ ۳: 11
  4. گزینهٔ ۴: 22
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین نقطهٔ نیازمند بررسی
هر ضابطه در بازهٔ مربوط به خود مشتق‌پذیر است؛ به‌ویژه مخرج ضابطهٔ کسری برای x≥2x\geq2 صفر نمی‌شود. بنابراین فقط باید نقطهٔ تغییر ضابطه، یعنی x=2x=2، را بررسی کنیم. مشتق‌پذیری روی کل اعداد حقیقی مستلزم مشتق‌پذیری در تک‌تک نقاط، از جمله این نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۸–۸۹).

گام دوم: استفاده از شرط پیوستگی
چون تابع در x=2x=2 مشتق‌پذیر است، در این نقطه پیوسته نیز هست. مقدار تابع را از ضابطهٔ شامل نقطهٔ اتصال به دست می‌آوریم:
f(2)=12−1=1f(2)=\frac{1}{2-1}=1.
حد چپ نیز باید با این مقدار برابر باشد؛ پس:
lim⁡x→2−f(x)=−4+2a+b=1\lim_{x\to2^-}f(x)=-4+2a+b=1.
بنابراین شرط پیوستگی عبارت است از:
2a+b=52a+b=5.

گام سوم: برابری مشتق‌های یک‌طرفه
با استفاده از قواعد مشتق‌گیری چندجمله‌ای و تابع کسری داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
(−x2+ax+b)′=−2x+a(-x^2+ax+b)'=-2x+a،
(1x−1)′=−1(x−1)2\left(\frac{1}{x-1}\right)'=-\frac{1}{(x-1)^2}.
با توجه به برقرار بودن شرط پیوستگی، مشتق‌های چپ و راست در نقطهٔ اتصال از این ضابطه‌ها محاسبه می‌شوند:
f−′(2)=−4+af'_-(2)=-4+a،
f+′(2)=−1(2−1)2=−1f'_+(2)=-\frac{1}{(2-1)^2}=-1.
برای مشتق‌پذیری باید این دو مقدار برابر باشند:
−4+a=−1⇒a=3-4+a=-1\Rightarrow a=3.

گام چهارم: محاسبهٔ پارامتر خواسته‌شده
مقدار به‌دست‌آمده را در شرط پیوستگی قرار می‌دهیم:
2(3)+b=5⇒b=−12(3)+b=5\Rightarrow b=-1.
با این مقادیر، هم پیوستگی و هم برابری مشتق‌های یک‌طرفه در نقطهٔ اتصال برقرار است؛ پس تابع در سراسر دامنه مشتق‌پذیر خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: اگر در شرط پیوستگی، مقدار تابع در نقطهٔ اتصال را به‌اشتباه صفر بگیرید، با جای‌گذاری a=3a=3 به b=−2b=-2 می‌رسید؛ اما مقدار واقعی تابع در این نقطه f(2)=1f(2)=1 است.
  • گزینهٔ ۳: این گزینه ممکن است از خطای علامت هنگام حل معادلهٔ 2+b=12+b=1 به دست آید. با قرار دادن b=1b=1 و a=3a=3، حد چپ تابع برابر 33 می‌شود و با مقدار تابع در نقطهٔ اتصال برابر نیست.
  • گزینهٔ ۴: اگر هنگام جای‌گذاری در شرط پیوستگی، جملهٔ axax را به‌اشتباه aa بنویسید، معادلهٔ −4+3+b=1-4+3+b=1 و در نتیجه b=2b=2 به دست می‌آید؛ در حالی که در نقطهٔ اتصال باید ax=2aax=2a باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. در تابع چندضابطه‌ای، نقطهٔ تغییر ضابطه را بررسی کنید. به یاد بیاورید که مشتق‌پذیری در این نقطه، هم پیوستگی و هم برابری مشتق‌های چپ و راست را لازم دارد.
  2. ابتدا شرط پیوستگی را به صورت −4+2a+b=1-4+2a+b=1 بنویسید؛ سپس مشتق دو ضابطه را در نقطهٔ اتصال برابر قرار دهید تا aa مشخص شود.
  3. از برابری مشتق‌های یک‌طرفه، معادلهٔ −4+a=−1-4+a=-1 و در نتیجه a=3a=3 به دست می‌آید. اکنون این مقدار را در شرط پیوستگی جای‌گذاری کنید و معادله را برای bb حل کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۳۹۸

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری