دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۳۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

خط y+ax=2y+ax=2 در نقطه‌ای به طول ۴ بر نمودار تابع ff مماس است. اگر f(4)+f′(4)=−1f(4)+f'(4)=-1 باشد، مقدار f′(4)f'(4) کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 11
  2. گزینهٔ ۲: 0/60/6
  3. گزینهٔ ۳: −0/6-0/6
  4. گزینهٔ ۴: −1-1
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ارتباط مشتق و شیب مماس
طبق تعریف هندسی مشتق، مقدار مشتق تابع در نقطهٔ تماس برابر شیب خط مماس در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷۱–۷۲). معادلهٔ خط را به صورت شیب–عرض از مبدأ می‌نویسیم:
y+ax=2⇒y=−ax+2y+ax=2\Rightarrow y=-ax+2
پس شیب خط برابر −a-a است و داریم:
f′(4)=−af'(4)=-a

گام دوم: استفاده از قرارداشتن نقطهٔ تماس روی خط
نقطهٔ تماس (4,f(4))(4,f(4)) هم روی نمودار تابع و هم روی خط مماس قرار دارد؛ بنابراین با جای‌گذاری مختصات آن در معادلهٔ خط:
f(4)+4a=2⇒f(4)=2−4af(4)+4a=2\Rightarrow f(4)=2-4a

گام سوم: استفاده از شرط سؤال
دو رابطهٔ به‌دست‌آمده را در شرط f(4)+f′(4)=−1f(4)+f'(4)=-1 قرار می‌دهیم:
(2−4a)+(−a)=−1(2-4a)+(-a)=-1
2−5a=−1⇒−5a=−3⇒a=352-5a=-1\Rightarrow -5a=-3\Rightarrow a=\frac{3}{5}
در نتیجه:
f′(4)=−a=−35=−0.6f'(4)=-a=-\frac{3}{5}=-0.6
دقت کنید که مقدار خواسته‌شده شیب خط، یعنی −a-a است، نه خودِ aa.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با نادیده‌گرفتن مقدار تابع و خطای علامت در شرط سؤال، مقدار 11 انتخاب شود. اما این شیب مستلزم a=−1a=-1 و f(4)=6f(4)=6 است؛ در نتیجه f(4)+f′(4)=7f(4)+f'(4)=7 می‌شود و شرط سؤال برقرار نیست.
  • گزینهٔ ۲: این گزینه حاصل اشتباه‌گرفتن پارامتر aa با شیب خط است. در معادلهٔ y=2−axy=2-ax، ضریب xx برابر −a-a است؛ بنابراین مشتق، قرینهٔ مقدار به‌دست‌آمده برای aa خواهد بود.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است عدد −1-1 در شرط سؤال، به‌اشتباه خودِ مشتق در نظر گرفته شود؛ درحالی‌که این عدد مجموع مقدار تابع و مشتق است. اگر f′(4)=−1f'(4)=-1 باشد، از خط مماس f(4)=−2f(4)=-2 به دست می‌آید و مجموع آن‌ها −3-3 خواهد بود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعبیر هندسی مشتق را به یاد بیاورید: مشتق در نقطهٔ تماس، برابر شیب خط مماس است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷۱–۷۲).
  2. خط را به صورت y=2−axy=2-ax بنویسید تا شیب آن مشخص شود. همچنین نقطهٔ تماس با مختصات (4,f(4))(4,f(4)) روی همین خط قرار دارد.
  3. از معادلهٔ خط، f(4)=2−4af(4)=2-4a و f′(4)=−af'(4)=-a را به دست آورید. اکنون این دو عبارت را در شرط مجموع جای‌گذاری کنید و پس از یافتن aa، علامت شیب را در نظر بگیرید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری