سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

در داده‌های سؤال ناسازگاری وجود دارد: با تابع نوشته‌شده، مساحت به‌دست‌آمده در گزینه‌ها نیست و گزینهٔ اعلام‌شده نیز تأیید نمی‌شود.

گام اول: تعیین نقطهٔ تماس
چون نقطهٔ $(a,a)$ روی نمودار $y=\sqrt{2-x}$ قرار دارد، داریم:
$a=\sqrt{2-a}$
طرف راست نامنفی است؛ پس باید $a\geq 0$ باشد. با به توان دو رساندن:
$a^2=2-a\Rightarrow a^2+a-2=0\Rightarrow(a-1)(a+2)=0$
ریشهٔ $a=-2$ به دلیل شرط نامنفی بودن پذیرفته نیست؛ بنابراین $a=1$ و نقطهٔ تماس $(1,1)$ است.

گام دوم: محاسبهٔ شیب مماس
طبق قاعدهٔ مشتق تابع رادیکالی با عبارت خطی زیر رادیکال (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$
پس:
$f'(1)=-\frac{1}{2}$
مشتق در نقطه، برابر شیب مماس در همان نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۲–۸۳).

گام سوم: نوشتن معادلهٔ مماس و یافتن تقاطع‌ها
خطی با شیب $-\frac{1}{2}$ که از $(1,1)$ می‌گذرد، معادلهٔ زیر را دارد:
$y-1=-\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$
برای برخورد با محور افقی، $y=0$ قرار می‌دهیم و $x=3$ به دست می‌آید. برای برخورد با محور عمودی، $x=0$ قرار می‌دهیم و $y=\frac{3}{2}$ حاصل می‌شود. بنابراین می‌توان نوشت:
$A=(3,0),\qquad B=(0,\frac{3}{2})$

گام چهارم: محاسبهٔ مساحت
مثلث در مبدأ قائم‌الزاویه است؛ در نتیجه:
$S_{OAB}=\frac{1}{2}\times OA\times OB=\frac{1}{2}\times3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

پس لازم است صورت سؤال یا گزینه‌ها بازبینی شود؛ مقدار $\frac{2}{25}$ از صورت فعلی به دست نمی‌آید.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ مساحت صحیح با صورت فعلی $\frac{9}{4}$ است.