سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین پارامتر از آهنگ تغییر متوسط

طبق تعریف کتاب، آهنگ تغییر متوسط برابر نسبت تغییر مقدار تابع به تغییر متغیر مستقل است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). بنابراین در بازهٔ $[-1,0]$ داریم:

$\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=-11$

مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:

$f(0)=(0^2+1)^3(a\times0+1)=1$

$f(-1)=\bigl((-1)^2+1\bigr)^3\bigl(a(-1)+1\bigr)=8(1-a)$

پس:

$1-8(1-a)=-11$

$-7+8a=-11\quad\Rightarrow\quad a=-\frac12$

گام دوم: تعیین نقطهٔ موردنظر

با جای‌گذاری پارامتر به‌دست‌آمده، داریم:

$x=-2a=-2\left(-\frac12\right)=1$

گام سوم: محاسبهٔ آهنگ تغییر لحظه‌ای

آهنگ تغییر لحظه‌ای در هر نقطه، همان مقدار مشتق تابع در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). با استفاده از قاعدهٔ مشتق حاصل‌ضرب و مشتق تابع مرکب:

$f'(x)=\bigl[3(x^2+1)^2(2x)\bigr](ax+1)+a(x^2+1)^3$

یعنی:

$f'(x)=6x(x^2+1)^2(ax+1)+a(x^2+1)^3$

اکنون $a=-\frac12$ و $x=1$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

$f'(1)=6(1)(1^2+1)^2\left(-\frac12+1\right)-\frac12(1^2+1)^3$

$f'(1)=6\times4\times\frac12-\frac12\times8=12-4=8$

بنابراین آهنگ تغییر لحظه‌ای خواسته‌شده برابر $8$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳