نمونه سوال فصل ۴ ریاضی دوازدهم با جواب

طبق قضیهٔ ارتباط مشتق‌پذیری و پیوستگی، وجود مشتق در یک نقطه، پیوستگی در همان نقطه را نتیجه می‌دهد؛ بنابراین با استفاده از عکس نقیض، ناپیوستگی مانع مشتق‌پذیری است. عکس این قضیه برقرار نیست و ممکن است تابعی پیوسته باشد ولی مشتق نداشته باشد. همچنین حد تعریف مشتق باید متناهی باشد؛ پس برابری دو حد یک‌طرفه با بی‌نهایت کافی نیست. (صفحهٔ ۷۷ تا ۸۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

با قرار دادن ضابطهٔ تابع در عبارت حد داریم: $\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=\frac{(1+2h)^2-(1-h)^2}{h}$. صورت برابر است با $(1+4h+4h^2)-(1-2h+h^2)=6h+3h^2$. بنابراین برای $h\ne0$، نسبت موردنظر برابر با $6+3h$ است و حد آن هنگام $h\to0$ برابر با $6$ می‌شود. این ساده‌سازی همان روش محاسبهٔ حد نسبت‌های تفاضلی است. (صفحهٔ ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

در نقطهٔ $x=-1$، مقدار تعیین‌شده برابر با $1=(-1)^2$ است؛ بنابراین این بخش از ضابطه تغییری در سهمی ایجاد نمی‌کند و مشتق در این نقطه وجود دارد. اما در $x=2$ داریم $\lim_{x\to2}f(x)=4$، در حالی که $f(2)=3$ است؛ پس تابع در این نقطه ناپیوسته و در نتیجه مشتق‌ناپذیر است. در تمام نقاط دیگر، تابع در یک همسایگی با $x^2$ برابر است و مشتق دارد. پس دامنهٔ مشتق برابر با $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ است. (صفحهٔ ۷۷ تا ۷۹ و ۸۲ و ۸۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

در تمام نقاط منفی، تابع با $x^2$ برابر است و مشتق دارد. در سر چپ بازهٔ $[-2,0]$ مشتق راست وجود دارد. در سر راست آن نیز $f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{h^2-0}{h}=0$ است؛ پس تابع روی این بازه مشتق‌پذیر است. از سوی دیگر، $f'_+(0)$ باید از حد $\lim_{h\to0^+}\frac{h+1-0}{h}=\lim_{h\to0^+}(1+\frac1h)$ به دست آید که متناهی نیست. بنابراین هیچ‌یک از سه بازهٔ دیگر شرایط لازم را ندارد. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰ و ۸۸ و ۸۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

شیب مماس برابر با مشتق است. برای تابع داده‌شده، $f'(x)=-\frac1{x^2}$؛ بنابراین برابری شیب‌ها نتیجه می‌دهد $a^2=b^2$. چون $a\ne b$، باید $b=-a$ باشد. اکنون از شرط دیگر داریم $\frac1a-\frac1b=6$ و در نتیجه $\frac2a=6$؛ پس $a=\frac13$ و $b=-\frac13$. بنابراین $a^2+b^2=\frac19+\frac19=\frac29$. (صفحهٔ ۷۳ و ۷۴ و ۸۳ و ۸۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

برای $x<0$ داریم $|x|=-x$ و در نتیجه $f(x)=4x^2-kx$. برای $x>0$ نیز $f(x)=kx$ و $f(0)=0$ است. پس $f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}(4h-k)=-k$ و $f'_+(0)=k$. مشتق‌پذیری در صفر مستلزم $-k=k$ است؛ بنابراین $k=0$. اکنون در نیم‌محور منفی، $f(x)=4x^2$ و با تعریف مشتق، $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{4(x+h)^2-4x^2}{h}=8x$. پس $f'(-1)=-8$ و حاصل خواسته‌شده برابر با $-8$ است. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰ و ۸۲ و ۸۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع در $x=1$ پیوسته است، اما مشتق چپ آن $2$ و مشتق راست آن $-1$ است؛ پس در این نقطه مشتق ندارد. بنابراین $f'(x)=2x$ برای $x<1$ و $f'(x)=-\frac1{x^2}$ برای $x>1$. روی هر یک از این دو بازه، معادلهٔ $f'(x)=m$ حداکثر یک جواب دارد؛ پس با وجود دو جواب، یکی مانند $u$ در شاخهٔ چپ و دیگری مانند $v$ در شاخهٔ راست قرار دارد. در نتیجه $2u=-\frac1{v^2}$، یعنی $u=-\frac1{2v^2}$. از شرط $uv=-\frac14$ داریم $-\frac1{2v}=-\frac14$؛ پس $v=2$ و $u=-\frac18$. این مقادیر در بازه‌های لازم قرار دارند و هر دو متناظر با $m=-\frac14$ هستند. فاصلهٔ دو جواب برابر است با $v-u=2+\frac18=\frac{17}{8}$. (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰ و ۸۲ تا ۸۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

مشتق زمانی وجود دارد که حد نسبت تفاضلی، متناهی باشد (صفحهٔ ۷۷). برای تابع $f$، دو حد یک‌طرفه برابر $3$ هستند؛ پس $f'(a)=3$. برای تابع $g$، دو حد یک‌طرفه نامتناهی‌اند؛ بنابراین مشتق متناهی وجود ندارد، ولی با توجه به پیوستگی، خط $x=a$ مماس قائم است (صفحه‌های ۸۰ تا ۸۲). برای تابع $h$ نیز نابرابری دو حد متناهی، مانع مشتق‌پذیری است و مماس قائم وجود ندارد. پاسخ: گزینهٔ ۲

مشتق تابع برابر $f'(x)=3x^2-2$ است (صفحهٔ ۸۷). بنابراین در طول $2$، شیب مماس $f'(2)=10$ و عرض نقطهٔ تماس $f(2)=4$ است. با توجه به تعبیر مشتق به‌عنوان شیب مماس (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴)، معادلهٔ مماس $y-4=10(x-2)$، یعنی $y=10x-16$ خواهد بود. برای یافتن نقاط مشترک داریم: $x^3-2x=10x-16$، پس $x^3-12x+16=0$. با تجزیه به دست می‌آید: $(x-2)^2(x+4)=0$. ریشهٔ $2$ مربوط به نقطهٔ تماس است و طول نقطهٔ مشترک دیگر $-4$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع داخلی را $u(x)=x f(x)$ می‌گیریم. طبق قاعدهٔ مشتق حاصل‌ضرب، $u'(x)=f(x)+x f'(x)$ است (صفحهٔ ۸۷). در نتیجه $u(1)=2$ و $u'(1)=2-3=-1$. اکنون با قاعدهٔ زنجیری داریم $F'(1)=u'(1)f'(u(1))=(-1)f'(2)=(-1)(4)=-4$ (صفحه‌های ۸۷ و ۸۸). پاسخ: گزینهٔ ۱

قرار می‌دهیم $u=x^2+ax+1$. با قاعدهٔ زنجیری، $f'(x)=3u^2(2x+a)$ است (صفحه‌های ۸۷ و ۸۸). مشتق‌گیری دوباره مطابق تعریف مشتق مرتبهٔ دوم (صفحهٔ ۹۰) می‌دهد: $f''(x)=6u(2x+a)^2+6u^2$. بنابراین $f'(0)=3a$ و $f''(0)=6a^2+6$. شرط مسئله به صورت $6a^2+6=12a$ درمی‌آید؛ پس $(a-1)^2=0$ و $a=1$. در $x=1$ داریم $u=3$ و $2x+a=3$؛ در نتیجه $f''(1)=6(3)(3^2)+6(3^2)=162+54=216$. پاسخ: گزینهٔ ۴

چون $x^3-3x^2=x^2(x-3)$، برای $x<3$ داریم $f(x)=-x^3+3x^2$ و برای $x>3$ داریم $f(x)=x^3-3x^2$. بنابراین مشتق در شاخهٔ چپ $f'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x)$ است که در $0$ و $2$ صفر می‌شود؛ هر دو عدد در همین شاخه قرار دارند. مشتق در شاخهٔ راست $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ است و هیچ ریشه‌ای در $x>3$ ندارد (صفحهٔ ۸۷). در $x=3$، مشتق چپ $-9$ و مشتق راست $9$ است؛ پس تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست (صفحه‌های ۷۸ و ۷۹). از آنجا که مماس افقی متناظر با مشتق صفر است (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴)، فقط طول‌های $0$ و $2$ مطلوب‌اند. پاسخ: گزینهٔ ۲