نمونه سوال فصل ۵ ریاضی دوازدهم با جواب

نقطهٔ بحرانی لزوماً نقطهٔ اکسترمم نسبی نیست. برای نمونه، تابع $f(x)=x^3$ در $x=0$ مشتق صفر دارد، اما در دو سوی این نقطه صعودی است و در آن اکسترمم نسبی ندارد. همچنین وجود اکسترمم نسبی، وجود مشتق را تضمین نمی‌کند؛ فقط اگر مشتق موجود باشد، مقدار آن صفر است. این تمایزها در تعریف نقاط بحرانی و بررسی عکس قضیهٔ مربوط به اکسترمم آمده‌اند (صفحهٔ ۱۰۶ و ۱۰۷). پاسخ: گزینهٔ ۱

مشتق تابع برابر است با $f'(x)=3x^2-6ax+12=3\big((x-a)^2+4-a^2\big)$. چون $(x-a)^2\geq0$ و در $x=a$ صفر می‌شود، کمترین مقدار مشتق برابر $3(4-a^2)$ است. بنابراین شرط مثبت بودن مشتق در همهٔ نقاط، $4-a^2>0$ است که نتیجه می‌دهد $-2<a<2$. مثبت بودن مشتق، طبق آزمون یکنوایی، صعودی بودن اکید تابع را نیز تضمین می‌کند (صفحهٔ ۱۰۳ و ۱۰۴). پاسخ: گزینهٔ ۳

مشتق در بازه‌های $(-\infty,-2)$، $(-2,1)$، $(1,3)$ و $(3,+\infty)$ به‌ترتیب علامت‌های مثبت، منفی، منفی و مثبت دارد. عامل $(x-1)^2$ در دو سوی ریشهٔ خود مثبت است و تغییری در علامت مشتق ایجاد نمی‌کند. پس در $x=-2$ تغییر علامت از مثبت به منفی، در $x=3$ تغییر علامت از منفی به مثبت و در $x=1$ عدم تغییر علامت رخ می‌دهد. طبق آزمون مشتق اول، دو نقطهٔ نخست به‌ترتیب ماکزیمم و مینیمم نسبی‌اند و نقطهٔ میانی اکسترمم نیست (صفحهٔ ۱۰۸ و ۱۰۹). پاسخ: گزینهٔ ۲

برای $0<|x|<1$ داریم $f(x)=-|x|>-1=f(0)$؛ پس طبق تعریف، تابع در مبدأ مینیمم نسبی دارد (صفحهٔ ۱۰۴ و ۱۰۵). از طرف دیگر، حد تابع در مبدأ برابر صفر است و با مقدار آن برابر نیست؛ همچنین نسبت تفاضلی در مبدأ حد متناهی ندارد، پس مشتق در مبدأ موجود نیست. چون مبدأ در دامنه است، نقطه‌ای بحرانی محسوب می‌شود (صفحهٔ ۱۰۶). تغییر علامت مشتق از مثبت به منفی در این مثال، مجوز نتیجه‌گیری دربارهٔ ماکزیمم نیست؛ زیرا شرط پیوستگی آزمون مشتق اول برقرار نیست (صفحهٔ ۱۰۸). پاسخ: گزینهٔ ۴

داریم $f'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. از میان ریشه‌های مشتق، فقط $x=0$ و $x=2$ در بازه‌اند. مقادیر لازم عبارت‌اند از $f(-1)=-4$، $f(0)=3$، $f(2)=-13$ و $f(3)=12$. بنابراین ماکزیمم مطلق برابر $12$ و مینیمم مطلق برابر $-13$ است و اختلاف آن‌ها $12-(-13)=25$ می‌شود. بررسی نقاط بحرانی داخل بازه همراه با دو انتهای آن، روش تعیین اکسترمم مطلق تابع پیوسته است (صفحهٔ ۱۱۱). پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر ضلع کف $x$ متر و ارتفاع $h$ متر باشد، از حجم داریم $x^2h=12$، پس $h=\frac{12}{x^2}$. هزینه‌ها را برحسب هزار تومان می‌نویسیم: هزینهٔ کف $3x^2$ و هزینهٔ دیواره‌ها $4xh=\frac{48}{x}$ است. بنابراین $C(x)=3x^2+\frac{48}{x}$ و $C'(x)=6x-\frac{48}{x^2}=\frac{6(x^3-8)}{x^2}$. مشتق برای $0<x<2$ منفی و برای $x>2$ مثبت است؛ پس کمترین هزینه در $x=2$ رخ می‌دهد. در این حالت هزینهٔ کف $12$ و هزینهٔ دیواره‌ها $24$ هزار تومان است؛ نسبت خواسته‌شده $\frac{12}{24}=\frac12$ خواهد بود. مدل‌سازی هزینه با حذف ارتفاع و بررسی علامت مشتق، مطابق روش بهینه‌سازی مخزن است (صفحهٔ ۱۱۵ و ۱۱۶). پاسخ: گزینهٔ ۱

چون مشتق تابع در تمام بازه صفر است، تابع در آن بازه ثابت است (صفحهٔ ۱۰۳ و ۱۰۴). برای هر $c\in(a,b)$ می‌توان همسایگی کوچکی درون بازه انتخاب کرد که در آن $f(x)=f(c)$ باشد. در نتیجه، هر دو رابطهٔ $f(c)\geq f(x)$ و $f(c)\leq f(x)$ برقرارند و تابع در آن نقطه هر دو نوع اکسترمم نسبی را دارد (صفحهٔ ۱۰۴ و ۱۰۵). همچنین صفر بودن مشتق در هر نقطه، بحرانی بودن آن را نتیجه می‌دهد (صفحهٔ ۱۰۶). پاسخ: گزینهٔ ۴

مشتق برابر است با $f'(x)=4x^3-12ax^2+12ax=4x(x^2-3ax+3a)$. برای داشتن سه اکسترمم نسبی، عامل درجهٔ دوم باید دو ریشهٔ حقیقی متمایز و ناصفر داشته باشد تا همراه با ریشهٔ $x=0$، سه ریشهٔ سادهٔ مشتق ایجاد شود. شرط ممیز عبارت است از $\Delta=9a^2-12a=3a(3a-4)>0$؛ بنابراین $a<0$ یا $a>\frac43$. در این حالت‌ها $a\ne0$ است، پس حاصل‌ضرب دو ریشهٔ عامل درجهٔ دوم، یعنی $3a$، ناصفر است و هیچ‌یک با ریشهٔ صفر مشترک نیست. مشتق در هر سه ریشهٔ ساده تغییر علامت می‌دهد؛ پس هر سه نقطه اکسترمم نسبی‌اند. در $a=0$ مشتق فقط ریشهٔ صفر دارد و در $a=\frac43$ داریم $f'(x)=4x(x-2)^2$ که در ریشهٔ مضاعف تغییر علامت نمی‌دهد. پس دو مقدار مرزی پذیرفته نیستند. این بررسی بر تعریف نقاط بحرانی و آزمون مشتق اول تکیه دارد (صفحهٔ ۱۰۶، ۱۰۸ و ۱۰۹). پاسخ: گزینهٔ ۳

داریم $f'(x)=-2x-2$؛ بنابراین مشتق در $(-3,-1)$ مثبت و در $(-1,0)$ منفی است. پس تابع در $x=-1$ به ماکزیمم مطلق خود، یعنی $f(-1)=1$، می‌رسد. برای بررسی مینیمم، می‌نویسیم $f(x)=1-(x+1)^2$. در دامنهٔ داده‌شده، $|x+1|<2$ و در نتیجه $f(x)>-3$ است؛ همچنین با نزدیک‌شدن $x$ به $-3$ از راست، مقدار تابع به $-3$ نزدیک می‌شود، ولی به آن نمی‌رسد. پس مینیمم مطلق وجود ندارد. این نتیجه بر تعیین علامت مشتق و لزوم حصول مقدار اکسترمم در دامنه متکی است (صفحه‌های ۱۰۷ تا ۱۱۰). پاسخ: گزینهٔ ۱

با تقسیم هزینهٔ ساعتی بر سرعت، هزینهٔ هر کیلومتر برابر $C(v)=800000/v+320v$ است. مشتق آن $C'(v)=-800000/v^2+320$ است که در $v=50$ صفر می‌شود و علامتش از منفی به مثبت تغییر می‌کند؛ پس $v_0=50$ سرعت بهینه است. در این سرعت، دو سهم هزینه برابرند: $800000/50=320\times50=16000$. بنابراین $C(v_0)=32000$. در سرعت $2v_0=100$ داریم $C(2v_0)=8000+32000=40000$. نسبت خواسته‌شده $40000/32000=5/4$ است (صفحه‌های ۱۱۸ و ۱۱۹). پاسخ: گزینهٔ ۲

حجم ثابت را $V$ و قیمت واحد سطح دیواره را $k$ می‌نامیم. از $\pi r^2h=V$ داریم $h=V/(\pi r^2)$. چون قیمت واحد سطح کف $2k$ است، تابع هزینه برابر $C(r)=2k\pi r^2+2kV/r$ خواهد بود. بنابراین $C'(r)=4k\pi r-2kV/r^2$ و شرط صفرشدن مشتق، $V=2\pi r^3$ است. مشتق پیش از این شعاع منفی و پس از آن مثبت است؛ پس هزینه کمینه می‌شود. در این حالت $h=2r$ است. نسبت هزینهٔ دیواره به کف برابر $\frac{2k\pi rh}{2k\pi r^2}=h/r=2$ خواهد بود. مدل‌سازی هزینه از مثال مخزن و حذف ارتفاع از مسئلهٔ استوانه به دست می‌آید (صفحه‌های ۱۱۵، ۱۱۶، ۱۱۸ و ۱۱۹). پاسخ: گزینهٔ ۳

عرض ناحیهٔ متن را $x\,\mathrm{cm}$ می‌گیریم؛ در نتیجه ارتفاع متن $72/x\,\mathrm{cm}$ است. مجموع حاشیه‌های چپ و راست $4\,\mathrm{cm}$ و مجموع حاشیه‌های بالا و پایین $2\,\mathrm{cm}$ است. پس مساحت صفحه برابر $A(x)=(x+4)(72/x+2)=80+2x+288/x$، با دامنهٔ $x>0$ است. مشتق آن $A'(x)=2-288/x^2$ است و در $x=12$ صفر می‌شود. مشتق برای $0<x<12$ منفی و برای $x>12$ مثبت است؛ بنابراین مساحت صفحه در این نقطه کمینه است. ابعاد متن $12\,\mathrm{cm}$ و $6\,\mathrm{cm}$ و ابعاد صفحه $16\,\mathrm{cm}$ و $8\,\mathrm{cm}$ می‌شوند. در نتیجه محیط صفحه $P=2(16+8)=48\,\mathrm{cm}$ است. روش تشکیل تابع یک‌متغیره و بررسی علامت مشتق، مطابق بهینه‌سازی مساحت و مسئلهٔ طراحی صفحه است (صفحه‌های ۱۱۴، ۱۱۹ و ۱۲۰). پاسخ: گزینهٔ ۴