سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای حل، ابتدا مساحت مستطیل را برحسب ارتفاع آن می‌نویسیم و سپس بیشترین مقدارش را با مشتق به دست می‌آوریم. این همان روش تبدیل قیدهای هندسی به تابع یک‌متغیره در مسائل بهینه‌سازی است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴ و ۱۱۸–۱۱۹).

گام اول: تعیین ابعاد مستطیل
ارتفاع مستطیل را $h$ می‌نامیم. چون ضلع پایینی بر محور $x$ها قرار دارد، دو رأس بالایی دارای عرض یکسان $h$ هستند.

برای رأس بالایی سمت چپ روی نمودار $y=\sqrt{x}$ داریم:
$h=\sqrt{x_1}\Rightarrow x_1=h^2$.

برای رأس بالایی سمت راست روی نمودار $y=\sqrt{a-x}$ داریم:
$h=\sqrt{a-x_2}\Rightarrow x_2=a-h^2$.

پس قاعدهٔ مستطیلِ بین دو نمودار برابر است با:
$L=x_2-x_1=a-2h^2$.

در نتیجه، تابع مساحت و بازهٔ بررسی آن عبارت‌اند از:
$S(h)=h(a-2h^2)=ah-2h^3,\qquad 0\le h\le\sqrt{\frac{a}{2}}$.

دو سر این بازه، حالت‌های تباهیده با مساحت صفر هستند.

گام دوم: یافتن بیشترین مساحت
مشتق تابع مساحت را حساب می‌کنیم:
$S'(h)=a-6h^2$.

بنابراین نقطهٔ بحرانیِ داخل بازه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$a-6h^2=0\Rightarrow h=\sqrt{\frac{a}{6}}$.

مشتق پیش از این ارتفاع مثبت و پس از آن منفی است؛ پس مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد. با توجه به صفر بودن مساحت در دو سر بازه، این نقطه، بیشینهٔ مطلق مساحت را می‌دهد؛ مطابق روش بررسی اکسترمم مطلق در کتاب (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۲).

گام سوم: استفاده از مساحت داده‌شده
با جای‌گذاری ارتفاع بهینه داریم:
$S_{\max}=\sqrt{\frac{a}{6}}\left(a-2\times\frac{a}{6}\right)=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{6}}$.

طبق صورت سؤال:
$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{6}}=\sqrt{2}$.

دو طرف مثبت‌اند؛ پس با به توان دو رساندن:
$\frac{4a^2}{9}\times\frac{a}{6}=2\Rightarrow\frac{2a^3}{27}=2\Rightarrow a^3=27\Rightarrow a=3$.

برای کنترل، در این حالت ارتفاع بهینه $h=\frac{1}{\sqrt{2}}$ و قاعده $L=2$ است؛ بنابراین مساحت برابر $2\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳