سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

در مسائل بهینه‌سازی، ابتدا کمیت موردنظر را به صورت تابعی از یک متغیر می‌نویسیم و سپس با مشتق، بیشینهٔ آن را بررسی می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام اول: بیان قاعده برحسب ارتفاع
ارتفاع مستطیل را $h$ می‌نامیم. چون ضلع پایینی روی محور $x$هاست، هر دو رأس بالایی دارای عرض $h$ هستند.

برای رأس چپ، از معادلهٔ نمودار داریم:
$h=\sqrt[3]{x_{\mathrm{L}}+4}\ \Rightarrow\ x_{\mathrm{L}}=h^3-4$.

برای رأس راست نیز:
$h=\sqrt[3]{4-x_{\mathrm{R}}}\ \Rightarrow\ x_{\mathrm{R}}=4-h^3$.

بنابراین قاعدهٔ مستطیل برابر است با:
$b=x_{\mathrm{R}}-x_{\mathrm{L}}=(4-h^3)-(h^3-4)=8-2h^3$.

برای مستطیل غیرمنحط باید ارتفاع و قاعده مثبت باشند؛ پس $0<h<\sqrt[3]{4}$.

گام دوم: تشکیل تابع مساحت و مشتق‌گیری
مساحت برابر حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است:
$S(h)=h(8-2h^3)=8h-2h^4$.

مشتق آن برابر است با:
$S'(h)=8-8h^3=8(1-h^3)$.

پس نقطهٔ بحرانی داخلی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$S'(h)=0\ \Rightarrow\ h^3=1\ \Rightarrow\ h=1$.

گام سوم: بررسی بیشینه و محاسبهٔ مساحت
در بازهٔ $0<h<1$ مشتق مثبت و در بازهٔ $1<h<\sqrt[3]{4}$ مشتق منفی است؛ بنابراین مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد و در $h=1$ بیشینه می‌شود. این همان روش بررسی تغییرات تابع در مثال بهینه‌سازی کتاب است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴). همچنین در دو حالت مرزی $h=0$ و $h=\sqrt[3]{4}$، مساحت صفر می‌شود.

در ارتفاع بهینه، دو رأس بالایی برابر $(-3,1)$ و $(3,1)$ هستند؛ در نتیجه:
$b=3-(-3)=6$،
$S_{\max}=6\times1=6$.

پاسخ: گزینهٔ ۴