سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌سازی ضابطه
نماد $[x]$ نشان‌دهندهٔ جزءصحیح است. افزودن یک واحد به ورودی، جزءصحیح را نیز یک واحد افزایش می‌دهد؛ بنابراین برای هر $x\in\mathbb{R}$ داریم:
$[x+1]=[x]+1$.
پس:
$f(x)=a[x]+b([x]+1)=(a+b)[x]+b$.

گام دوم: استفاده از شرط پیوستگی
پیوستگی روی کل خط حقیقی یعنی تابع در تک‌تک نقاط آن پیوسته باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۰–۱۴۱). از طرفی، تابع جزءصحیح در اعداد صحیح پرش دارد؛ بررسی همین موضوع در تمرین کتاب آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲).
برای به‌دست‌آوردن شرط حذف پرش، کافی است پیوستگی را در $x=0$ بررسی کنیم. اگر $-1<x<0$، آنگاه $[x]=-1$ و در نتیجه:
$f(x)=-(a+b)+b=-a$.
اگر $0\leq x<1$، آنگاه $[x]=0$ و بنابراین:
$f(x)=b$.
پس:
$\lim_{x\to0^-}f(x)=-a,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=b$.
برای پیوستگی، این مقدارها باید برابر باشند؛ در نتیجه:
$-a=b\quad\Longrightarrow\quad a+b=0$.

گام سوم: تعیین تابع و محاسبهٔ نسبت
با قرار دادن شرط بالا در ضابطه، برای تمام اعداد حقیقی داریم:
$f(x)=b=-a$.
این تابع ثابت است و در همه‌جا پیوسته است؛ زیرا حد تابع ثابت برابر مقدار همان ثابت است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۸–۱۳۰). بنابراین شرط به‌دست‌آمده کافی نیز هست.
چون تابع غیرصفر است، $b\ne0$ و در نتیجه $a\ne0$؛ پس تقسیم بر $a$ مجاز است. اکنون:
$f(a)=-a\quad\Longrightarrow\quad \frac{f(a)}{a}=\frac{-a}{a}=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۲