کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۶: حد و پیوستگی

اگر $f(x)=x\left(\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}\right)^3$ باشد، حاصل $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: $\frac{1}{27}$
گزینهٔ ۲: $\frac{1}{9}$
گزینهٔ ۳: $\frac{2}{7}$
گزینهٔ ۴: $\frac{3}{14}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌سازی عبارت زیر حد
در محاسبهٔ حد، مقدار عبارت برای $x\neq0$ و نزدیک صفر اهمیت دارد؛ بنابراین عامل مشترک $x$ را حذف می‌کنیم:
$\frac{f(x)}{x}=\frac{x\left(\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}\right)^3}{x}=\left(\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}\right)^3.$
پس صفر شدن مخرجِ عبارت اولیه در نقطهٔ موردنظر، مانع این ساده‌سازی در اطراف آن نقطه نیست.

گام دوم: محاسبهٔ حد کسر داخل رادیکال
طبق قانون حد تقسیم، چون حد مخرج برابر $9$ و ناصفر است، داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱):
$\lim_{x\to0}\frac{2x+1}{5x+9}=\frac{2(0)+1}{5(0)+9}=\frac{1}{9}.$

گام سوم: اعمال ریشه و توان
کسر داخل رادیکال در اطراف صفر مثبت است و حد آن نیز مثبت است؛ پس با قانون حد ریشه، حد رادیکال را محاسبه می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴):
$\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.$
اکنون طبق قانون حد توان، حدِ توان سوم برابر توان سومِ حد است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰):
$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}.$

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است دانش‌آموز پس از حذف عامل مشترک، فقط حد کسر داخل رادیکال، یعنی $\frac{1}{9}$ ، را حساب کند. اما باید ابتدا ریشهٔ دوم و سپس توان سومِ آن را نیز در محاسبه لحاظ کرد.
گزینهٔ ۳: ممکن است دانش‌آموز به‌اشتباه حد کسر را از نسبت ضرایب $x$ به دست آورد و در محاسبهٔ رادیکال و توان نیز خطا کند. در حدِ $x\to0$ ، جمله‌های ثابت تعیین‌کننده‌اند و حد کسر داخل رادیکال $\frac{1}{9}$ است، نه نسبتی از ضرایب $x$ .
گزینهٔ ۴: این انتخاب می‌تواند ناشی از ترکیب نادرست ضرایب با توان سوم و ریشهٔ دوم باشد. توان و رادیکال بر مقدار کل کسر اثر می‌گذارند؛ بنابراین باید حد کسر، ریشهٔ دوم و توان سوم را به‌ترتیب محاسبه کرد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

قوانین حد تقسیم، حد ریشه و حد توان را مرور کن؛ پیش از استفاده از آنها، به عامل مشترک صورت و مخرج توجه کن.
در محاسبهٔ حد، $x$ به صفر نزدیک می‌شود، ولی برابر صفر نیست؛ پس می‌توانی عامل $x$ را از صورت و مخرج حذف کنی.
پس از ساده‌سازی، حد کسر داخل رادیکال را با جای‌گذاری به دست آور؛ سپس ریشهٔ دومِ آن را حساب کن و حاصل را به توان سوم برسان.

ریاضی ۲ · فصل ۶: حد و پیوستگی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «حد و پیوستگی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری