سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: شرط پیوستگی را در نقطهٔ اتصال بنویسیم.

طبق تعریف پیوستگی، حد تابع در هر نقطه باید با مقدار تابع در همان نقطه برابر باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰). بنابراین در $x=a$ داریم:
$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^2+mx+n}{a-x}=f(a)=2$.
چون مخرج به صفر میل می‌کند و حد کسر متناهی است، صورت نیز باید در این نقطه صفر شود؛ پس:
$a^2+ma+n=0$.
بنابراین $a$ یکی از ریشه‌های چندجمله‌ای صورت است.

گام دوم: از شرط صفرشدن تابع استفاده کنیم.

اگر $a=0$ باشد، آنگاه $2a=a$ و در نتیجه $f(2a)=f(a)=2$ می‌شود که با شرط $f(2a)=0$ ناسازگار است. پس $a\ne0$ و در نتیجه $2a\ne a$.

اکنون می‌توان برای محاسبهٔ $f(2a)$ از ضابطهٔ کسری استفاده کرد. چون مخرج در این نقطه ناصفر است، صورت باید صفر باشد:
$4a^2+2am+n=0$.
پس $2a$ نیز ریشهٔ صورت است. ضریب جملهٔ درجهٔ دوم برابر یک است؛ بنابراین:
$x^2+mx+n=(x-a)(x-2a)=x^2-3ax+2a^2$.
با مقایسهٔ ضرایب به دست می‌آید:
$m=-3a,\qquad n=2a^2$.

گام سوم: حد را محاسبه کنیم.

برای $x\ne a$ داریم:
$\displaystyle f(x)=\frac{(x-a)(x-2a)}{-(x-a)}=2a-x$.
این روشِ حذف عامل مشترک و سپس بررسی مقدار تابع در نقطهٔ حذف‌شده، مشابه تمرین تابع کسریِ بخش پیوستگی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲).

اکنون شرط پیوستگی می‌دهد:
$\displaystyle \lim_{x\to a}(2a-x)=a=2$.
پس:
$m=-3(2)=-6,\qquad n=2(2)^2=8$.
در نتیجه:
$n-m=8-(-6)=14$.

پاسخ: گزینهٔ ۴