نمونه سوال فصل ۶ ریاضی یازدهم با جواب

طبق معیار وجود حد دوطرفه، اگر حد چپ و حد راست در یک نقطه موجود و برابر باشند، حد دوطرفه نیز وجود دارد و برابر مقدار مشترک آن‌هاست. تعریف‌شدن تابع در خود نقطه، شرط این نتیجه نیست. بنابراین از داده‌های سؤال، وجود حد تابع در $x=a$ نتیجه می‌شود، اما دربارهٔ مقدار $f(a)$ نمی‌توان حکم کرد. (صفحهٔ ۱۲۴) پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از قانون حد توان و مجموع، حد صورت برابر است با $(-2)^2+2(3)=10$. همچنین حد مخرج برابر $3-(-2)=5$ است. چون این مقدار صفر نیست، قانون حد تقسیم قابل استفاده است و داریم: $\lim_{x\to a}\frac{(f(x))^2+2g(x)}{g(x)-f(x)}=\frac{10}{5}=2$. (صفحه‌های ۱۲۸ تا ۱۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

حد عبارت زیر رادیکال برابر $8(3)+1=25>0$ است؛ پس حد صورت برابر $\sqrt{25}=5$ خواهد بود. حد مخرج نیز از جای‌گذاری در چندجمله‌ای به دست می‌آید: $3^2-2(3)-1=2$. چون حد مخرج ناصفر است، داریم: $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{8x+1}}{x^2-2x-1}=\frac{5}{2}$. (صفحه‌های ۱۳۰، ۱۳۱ و ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای $f$، حد چپ برابر $-3$ و حد راست برابر $3$ است؛ بنابراین حد دوطرفهٔ آن وجود ندارد. با تعریف $h(x)=(f(x))^2$، قانون حد توان در هر سمت می‌دهد: $\lim_{x\to 2^-}h(x)=(-3)^2=9$ و $\lim_{x\to 2^+}h(x)=3^2=9$. پس $\lim_{x\to 2}h(x)=9$. از سوی دیگر، $h(2)=(f(2))^2=7^2=49$ است. چون حد با مقدار تابع برابر نیست، $h$ در این نقطه پیوسته نیست. (صفحه‌های ۱۲۴، ۱۳۰، ۱۳۹ و ۱۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۴

برای تابع اول، $f(-1)=1$، ولی $\lim_{x\to -1^+}f(x)=-1+3=2$؛ پس پیوستگی راست ندارد. تابع دوم در ابتدای دامنهٔ خود قرار دارد و $\lim_{x\to -3^+}\sqrt{2x+6}=0=g(-3)$؛ بنابراین از راست پیوسته است. برای تابع سوم نیز $\lim_{x\to 0^+}h(x)=4=h(0)$، پس پیوستگی راست دارد. در نتیجه فقط دو تابع $g$ و $h$ شرط خواسته‌شده را دارند. (صفحه‌های ۱۳۹ و ۱۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

حد چپ در نقطهٔ اتصال برابر است با $\lim_{x\to 1^-}\sqrt{2x+7}=\sqrt{9}=3$. حد راست برابر $a+b$ و مقدار تابع در نقطه برابر $2b-a$ است. برای پیوستگی باید $a+b=3$ و $2b-a=3$ باشد. با جمع این دو رابطه، $3b=6$ و در نتیجه $b=2$ به دست می‌آید؛ سپس $a=1$. بنابراین $a^2+b^2=1^2+2^2=5$. (صفحه‌های ۱۲۴، ۱۳۳، ۱۳۹ و ۱۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

قوانین حد برای حدهای یک‌طرفه نیز برقرارند. حد چپ مخرج برابر $1-2=-1$ و حد راست آن برابر $4-(-1)=5$ است؛ بنابراین در هر سمت می‌توان از قانون تقسیم استفاده کرد. حد چپ کسر برابر $\frac{1+2k}{-1}=-1-2k$ و حد راست آن برابر $\frac{4-k}{5}$ است. برای وجود حد دوطرفه باید $-1-2k=\frac{4-k}{5}$ باشد. از این رابطه، $-5-10k=4-k$ و سپس $k=-1$ به دست می‌آید. با جای‌گذاری، $L=-1-2(-1)=1$ است؛ پس $k+L=0$. (صفحه‌های ۱۲۴، ۱۲۹ تا ۱۳۱ و ۱۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

قانون حد تقسیم، هنگامی که حد مخرج صفر باشد، نتیجه‌ای دربارهٔ حد کسر نمی‌دهد. برای نشان‌دادن ناکافی‌بودن داده‌ها، اگر $f(x)=x^2$ و $g(x)=x$ باشد، هر دو تابع در صفر حد صفر دارند، ولی برای $x\ne 0$ نسبت آن‌ها برابر $x$ است و حد کسر صفر می‌شود. اگر $f(x)=g(x)=x$ باشد، حد کسر برابر یک است. همچنین با انتخاب $g(x)=x$ و $f(x)=\begin{cases}x&x>0\\-x&x<0\end{cases}$، نسبت در سمت راست برابر یک و در سمت چپ برابر منفی یک می‌شود؛ پس حد دوطرفه ندارد. بنابراین نه وجود حد و نه مقدار آن از اطلاعات داده‌شده تعیین نمی‌شود. (صفحه‌های ۱۲۴ و ۱۲۸ تا ۱۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق فرایند مطرح‌شده برای چندضلعی‌های منتظم محاطی، با انتخاب تعداد اضلاع به‌اندازهٔ کافی بزرگ، مساحت آنها به هر اندازهٔ دلخواه به مساحت دایره نزدیک می‌شود (صفحهٔ ۱۲۰). همین نتیجه برای چندضلعی‌های منتظم محیطی نیز برقرار است، با این تفاوت که نزدیک‌شدن از مقادیر بزرگ‌تر انجام می‌شود (صفحهٔ ۱۲۱). بنابراین، برای هر مقدار مثبت دلخواه می‌توان تعداد اضلاع را چنان انتخاب کرد که اختلاف مساحت هر دو چندضلعی با مساحت دایره از آن مقدار کمتر باشد. این نتیجه به معنای برابری دقیق در یک مرحلهٔ متناهی نیست. پاسخ: گزینهٔ ۲

صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$. برای $x\ne2$، کسر برابر $x+3$ است؛ پس $\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2}=5$. حذف عامل مشترک در محاسبهٔ حد مجاز است، زیرا در این فرایند مقدار متغیر با نقطهٔ موردنظر برابر نیست (صفحهٔ ۱۳۲). از طرفی، چون $\lim_{x\to2}(3x+3)=9>0$، قانون حد ریشه می‌دهد: $\lim_{x\to2}\sqrt{3x+3}=3$ (صفحه‌های ۱۳۳ و ۱۳۴). با استفاده از قانون حد تفاضل، حد خواسته‌شده برابر $5-3=2$ است (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

برای $x<1$ داریم $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$؛ بنابراین حد چپ تابع در $x=1$ برابر $2$ است (صفحهٔ ۱۳۲). برای $1<x<2$ نیز $[x]=1$ و در نتیجه $f(x)=2$؛ پس حد راست در $x=1$ نیز $2$ است. برابری حدهای یک‌طرفه نشان می‌دهد $\lim_{x\to1}f(x)=2$ (صفحهٔ ۱۲۴). با این حال، چون $f(1)=0$ است، تابع در این نقطه پیوسته نیست (صفحه‌های ۱۳۸ و ۱۳۹). در بخش $0<x<1$ ضابطهٔ تابع $x+1$ است و ناپیوستگی ندارد. در بخش $1<x<3$، تابع $[x]+1$ فقط در $x=2$ جهش دارد: حد چپ آن $2$ و حد راست و مقدار تابع $3$ است (صفحه‌های ۱۳۴ و ۱۴۲). دو سر بازه نیز جزو آن نیستند؛ پس تعداد نقاط ناپیوستگی برابر $2$ و زوج مرتب خواسته‌شده $(2,2)$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

در $x=0$، حد چپ از شاخهٔ رادیکالی برابر $\sqrt{4}=2$ است (صفحه‌های ۱۳۳ و ۱۳۴). مقدار تابع و حد راست در این نقطه هر دو $b$ هستند؛ بنابراین شرط پیوستگی می‌دهد $b=2$ (صفحه‌های ۱۳۸ تا ۱۴۰). برای بررسی اتصال دوم، از اتحاد $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ استفاده می‌کنیم؛ پس برای $x>2$، شاخهٔ کسری برابر $x^2+2x+4$ است و حد راست در $x=2$ برابر $12$ می‌شود (صفحه‌های ۱۳۲ و ۱۳۳). در نتیجه، پیوستگی در این نقطه مستلزم $c=12$ و $2a+b=12$ است. با جای‌گذاری $b=2$ داریم $a=5$. بنابراین $ac-b=5\times12-2=58$. پاسخ: گزینهٔ ۴