سوال ۱۴۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

۱. نماد $[x]$ نشان‌دهندهٔ جزء صحیح، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $x$ است. برای محاسبهٔ حد چپ باید رفتار تابع را در سمت چپِ نقطه بررسی کنیم؛ تمرین‌های نمودار جزء صحیح نیز بر همین تفاوت حد چپ و راست تأکید دارند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴).

۲. وقتی $x$ از چپ به $-2$ نزدیک می‌شود، در نزدیکی این نقطه داریم:
$-3<x<-2\quad\Rightarrow\quad [x]=-3.$
پس صورت کسر در تمام این بازه دقیقاً برابر است با:
$[x]+3=-3+3=0.$

۳. در محاسبهٔ حد، خودِ نقطه را در نظر نمی‌گیریم؛ بنابراین $x\ne-2$ و در نتیجه $x+2\ne0$ است. استفاده از برابری عبارت‌ها در همسایگیِ نقطه، بدون نیاز به تعریف‌شدن آن‌ها در خود نقطه، در مثال ساده‌سازی حد نیز به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۲–۱۳۳). پس در بازهٔ موردنظر:
$\frac{[x]+3}{x+2}=\frac{0}{x+2}=0.$

۴. بنابراین تابع در یک همسایگی چپِ نقطه، ثابت و برابر صفر است و داریم:
$\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\frac{[x]+3}{x+2}=\lim_{x\to-2^-}0=0.$

توجه کنید که چون حد مخرج صفر است، نمی‌توان قانون تقسیم حدها را مستقیماً به کار برد؛ این قانون به ناصفر بودن حد مخرج نیاز دارد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱). در اینجا ابتدا خودِ عبارت را در سمت چپ ساده کردیم.

پاسخ: گزینهٔ ۳