سوال ۱۵۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص نوع شمارش
در دعوت‌کردن، فقط اعضای گروه مهم‌اند و ترتیب انتخاب آن‌ها اهمیتی ندارد؛ بنابراین باید از ترکیب استفاده کنیم. این همان تمایزی است که در کار در کلاس درس ترکیب مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۶).

گام دوم: شمارش همهٔ انتخاب‌ها، بدون درنظرگرفتن محدودیت
تعداد راه‌های انتخاب $5$ نفر از $9$ نفر برابر است با:
$\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!\,4!}=126$

گام سوم: شمارش انتخاب‌های ممنوع
دو دوست موردنظر را با $A$ و $B$ مشخص می‌کنیم. شرط مسئله یعنی این دو نفر نباید هم‌زمان دعوت شوند؛ اما دعوت‌نکردن هر دو یا دعوت‌کردن فقط یکی از آن‌ها مجاز است.
در هر انتخاب ممنوع، هر دو نفر $A$ و $B$ حضور دارند. پس برای تکمیل گروه پنج‌نفره، باید $3$ نفر دیگر را از $7$ دوست باقی‌مانده انتخاب کنیم:
$\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35$
برای این دو دوست ضریب ترتیبی در نظر نمی‌گیریم، زیرا جابه‌جایی ترتیب انتخاب، گروه جدیدی نمی‌سازد؛ نکته‌ای که در بررسی شمارش تکراری انتخاب اعضای کمیته نیز اهمیت دارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۷).

گام چهارم: حذف حالت‌های ممنوع
همهٔ انتخاب‌ها یا مجازند یا شامل هر دو دوست ناسازگار می‌شوند؛ بنابراین:
$N=\binom{9}{5}-\binom{7}{3}=126-35=91$

برای بررسی، می‌توان حالت‌های مجاز را نیز مستقیماً شمرد: اگر هیچ‌کدام از آن دو دعوت نشوند، $\binom{7}{5}=21$ حالت داریم؛ اگر فقط یکی دعوت شود، $2\binom{7}{4}=70$ حالت داریم. مجموع آن‌ها نیز $21+70=91$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳