سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص روش شمارش
چون فقط انتخاب کتاب‌ها مهم است و ترتیب آن‌ها مطرح نیست، از ترکیب استفاده می‌کنیم. مطابق تعریف کتاب، تعداد انتخاب‌های $r$ عضوی از $n$ شیء متمایز برابر است با $\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۵).

از میان $7$ کتاب، ریاضی، فیزیک و زیست را جدا در نظر می‌گیریم؛ بنابراین $4$ کتاب دیگر داریم که محدودیتی برای انتخابشان وجود ندارد.

گام دوم: بررسی شرط‌ها
شرط اول می‌گوید حضور ریاضی، حضور زیست را الزامی می‌کند؛ اما حضور زیست الزاماً به معنای حضور ریاضی نیست. شرط دوم نیز اجازه نمی‌دهد فیزیک و زیست هم‌زمان انتخاب شوند.

گام سوم: دسته‌بندی بر اساس حضور زیست
حالت اول ـ زیست انتخاب شود: در این صورت فیزیک نباید انتخاب شود. زیست یک جای انتخاب را پر کرده است و باید $3$ کتاب دیگر را از میان $5$ کتابِ باقی‌مانده، یعنی ریاضی و $4$ کتاب دیگر، انتخاب کنیم. ریاضی در این حالت می‌تواند انتخاب شود یا نشود، زیرا زیست از قبل انتخاب شده و شرط اول برقرار است. پس تعداد انتخاب‌ها برابر است با:
$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=10$.

حالت دوم ـ زیست انتخاب نشود: در این صورت ریاضی نیز نباید انتخاب شود؛ زیرا انتخاب ریاضی بدون زیست، شرط اول را نقض می‌کند. پس فقط فیزیک و $4$ کتاب دیگر در دسترس‌اند و باید $4$ کتاب از این $5$ کتاب انتخاب کنیم. انتخاب فیزیک در این حالت مجاز است، چون زیست انتخاب نشده است. بنابراین:
$\binom{5}{4}=\frac{5!}{4!1!}=5$.

گام چهارم: جمع حالت‌ها
این دو حالت هم‌پوشانی ندارند و همهٔ انتخاب‌های مجاز را پوشش می‌دهند؛ بنابراین تعداد آن‌ها را جمع می‌کنیم. این روشِ تفکیک حالت‌های جدا و جمع تعدادشان در مثال درس ترکیب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۷):
$\binom{5}{3}+\binom{5}{4}=10+5=15$.

پاسخ: گزینهٔ ۳