سوال ۱۳۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۴ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۴ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۳۴ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۶: شمارش، بدون شمردن

با ارقام $0,1,3,5,7,8,9$ چند عدد سه رقمی بدون تکرار می‌توان نوشت که از ۷۸۱ کوچک‌تر باشد؟

گزینهٔ ۱: ۱۳۳
گزینهٔ ۲: ۱۲۵
گزینهٔ ۳: ۱۱۱
گزینهٔ ۴: ۱۰۳

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای ساختن عدد سه‌رقمی، سه جایگاه صدگان، دهگان و یکان را پر می‌کنیم. مطابق روش کتاب، تعداد انتخاب‌های پیاپی را در هم ضرب می‌کنیم و صفر را در صدگان قرار نمی‌دهیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳). همچنین تعداد حالت‌های جدا از هم را با اصل جمع به دست می‌آوریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۲).

گام اول: صدگان کوچک‌تر از $7$ باشد.
صدگان فقط می‌تواند یکی از رقم‌های $1,3,5$ باشد؛ پس سه انتخاب داریم. در این حالت، عدد حتماً از $781$ کوچک‌تر است. چون تکرار رقم مجاز نیست، برای دهگان شش و برای یکان پنج انتخاب باقی می‌ماند:
$3\times6\times5=90$

گام دوم: صدگان برابر $7$ باشد.
برای کوچک‌تر بودن عدد از $781$ ، دو حالت داریم:

دهگان کوچک‌تر از $8$ باشد: رقم‌های مجاز دهگان عبارت‌اند از $0,1,3,5$ . پس چهار انتخاب برای دهگان داریم و پس از انتخاب آن، پنج رقم برای یکان باقی می‌ماند:

$1\times4\times5=20$

دهگان برابر $8$ باشد: یکان باید از $1$ کوچک‌تر باشد؛ بنابراین فقط رقم $0$ مجاز است. در نتیجه، تنها عدد این حالت $780$ است و یک حالت داریم. خود عدد $781$ شمرده نمی‌شود، زیرا سؤال عددهای کوچک‌تر از آن را می‌خواهد.

صدگان‌های $8$ و $9$ نیز مجاز نیستند، چون عدد را از $781$ بزرگ‌تر می‌کنند.

گام سوم: جمع حالت‌ها.
این حالت‌ها هم‌پوشانی ندارند؛ بنابراین:
$90+20+1=111$

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با مجاز دانستن صفر در صدگان یا با اعمال نکردن محدودیت دهگان در حالت صدگان $7$ ، تعداد حالت‌ها را بیش از مقدار درست بشمارید. صفر در صدگان عدد سه‌رقمی نمی‌سازد و هر عددی با صدگان $7$ نیز الزاماً از $781$ کوچک‌تر نیست.
گزینهٔ ۲: این گزینه می‌تواند حاصل یکسان گرفتن تعداد انتخاب‌های یکان در همهٔ حالت‌های صدگان $7$ باشد. وقتی دهگان $8$ است، نمی‌توان هر رقم باقی‌مانده‌ای را در یکان گذاشت؛ شرط کوچک‌تر بودن از $781$ باید جداگانه بررسی شود.
گزینهٔ ۴: حذف نادرست بعضی حالت‌های دارای صفر می‌تواند باعث کم‌شماری و انتخاب این گزینه شود. صفر فقط در صدگان ممنوع است؛ در دهگان یا یکان، به شرط تکراری نبودن رقم‌ها و رعایت کران، مجاز است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش پرکردن جایگاه‌های صدگان، دهگان و یکان را به یاد بیاورید: در هر حالت از اصل ضرب و برای جمع‌کردن حالت‌های جدا از هم از اصل جمع استفاده کنید.
ابتدا عددها را به دو دسته تقسیم کنید: صدگان کوچک‌تر از $7$ و صدگان برابر $7$ . صفر نمی‌تواند صدگان باشد و با انتخاب هر رقم، آن رقم از انتخاب‌های جایگاه‌های بعدی حذف می‌شود.
در دستهٔ صدگان $7$ ، دهگان‌های کوچک‌تر از $8$ را جدا بشمارید؛ سپس پیشوند $78$ را بررسی کنید که یکان آن باید از $1$ کوچک‌تر باشد. در پایان، تعداد حالت‌های جداگانه را جمع کنید.

فصل «شمارش، بدون شمردن» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.